Cho đường tròn tâm \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Kẻ tiếp tuyến \(Ax.\) Trên tia \(Ax\)

Câu hỏi số 395919:

Vận dụng cao

Cho đường tròn tâm \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Kẻ tiếp tuyến \(Ax.\) Trên tia \(Ax\) lấy \(C,\) từ \(C\) kẻ đường thẳng cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(D,E\) (\(D,E\) không cùng nửa mặt phẳng bờ \(AB,\) \(D\) nằm giữa \(C\) và \(E\)). Từ \(O\) kẻ \(OH \bot DE.\)

a) Chứng minh \(AOHC\) nội tiếp.

b) Chứng minh \(AD.CE = AC.AE.\)

c) Đường thẳng \(CO\) cắt \(BD,\,\,BE\) tại \(M,\,\,N.\) Chứng minh \(AMBN\) là hình bình hành.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:395919

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác \(AOHC\) có tổng hai góc đổi bằng \({180^0}\).

b) Chứng minh hai tam giác \(\Delta ADC\) và \(\Delta EAC\) đồng dạng theo trường hợp góc-góc.

c) Chứng minh hai tam giác \(\Delta ADH\) và \(\Delta NBO\) đồng dạng, từ đó chứng minh hai tam giác \(\Delta ADE\) và \(\Delta NBA\) đồng dạng.

Chứng minh \(\angle NAB = \angle ABD\), từ đó suy ra \(AN\parallel BM\),

Chứng minh \(\Delta AON = \Delta BOM\), từ đó suy ra \(AN = BM\). Khi đó ta suy ra được điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\angle OAC = \angle OHC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow \angle OAC + \angle OHC = {180^0}\) \( \Rightarrow \) Tứ giác \(AOHC\) là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).

b) Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta EAC\):

\(\angle CAD = \angle AEC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AD\));

\(\widehat C\) chung;

\( \Rightarrow \Delta ADC \sim \Delta EAC\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{EA}} = \dfrac{{AC}}{{EC}} \Rightarrow AD.EC = AC.AE\)

c) Xét \(\Delta ADH\) và \(\Delta NBO:\)

\(\angle ADH = \angle NBO\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE\)).

\(\angle AHD = \angle AOC\) (do tứ giác \(CAOH\) nội tiếp)

\(\angle AOC = \angle NOB\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \angle AHD = \angle NOB\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ADH \sim \Delta NBO\,\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{NB}} = \dfrac{{DH}}{{BO}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}DE}}{{\dfrac{1}{2}BA}} = \dfrac{{DE}}{{BA}}\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{DE}} = \dfrac{{NB}}{{BA}} \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta NBA\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \angle AED = \angle NAB\). Mà \(\angle AED = \angle ABD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD\)) nên \(\angle NAB = \angle ABD\).

Mà hai góc này ở vị trí hai góc so le trong bằng nhau, do đó \(AN\parallel BM\).

Xét \(\Delta AON\) và \(\Delta BOM\) có:

\(AO = BO\,\,\,\left( {gt} \right)\)

\(\angle AON = \angle BOM\) (đối đỉnh)

\(\angle OAN = \angle OBM\) (so le trong do \(AN\parallel BM\)).

\( \Rightarrow \Delta AON = \Delta BOM\,\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow AN = BM\)

Xét tứ giác \(AMBN\) có \(AN = BM,\,\,AN\parallel BM\) nên \(AMBN\) là hình bình hành (dhnb).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link