Cho tam giác nhọn \(ABC;\) \(\angle BAC = {60^0};\) \(AB < AC\). Đường tròn tâm \(I\) nội tiếp tam

Câu hỏi số 396417:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn \(ABC;\) \(\angle BAC = {60^0};\) \(AB < AC\). Đường tròn tâm \(I\) nội tiếp tam giác \(ABC\) tiếp xúc với \(AB,\,\,AC\) lần lượt tại \(D,\,\,E\). Kéo dài \(BI,\,\,CI\) lần lượt cắt \(DE\) tại \(F,\,\,G\), gọi \(M\) là trung điểm \(BC\). Chứng minh tam giác \(MFG\) đều.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396417

Phương pháp giải

- Chứng minh tứ giác \(EFCI\) là tứ giác nội tiếp, từ đó chứng minh \(\Delta BFC\) vuông.

- Chứng minh \(MF = MG = \dfrac{1}{2}BC\).

- Chứng minh \(\angle GFM = {60^0}\), sử dụng phương pháp cộng góc.

Giải chi tiết

Ta có: \(\angle FIC = \angle IBC + \angle ICB\) (góc ngoài của tam giác \(IBC\)).

Mà \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) nên \(BI,\,\,CI\) lần lượt là phân giác của các góc \(\angle ABC,\,\,\angle ACB\).

\( \Rightarrow \angle IBC = \dfrac{1}{2}\angle ABC\), \(\angle ICB = \dfrac{1}{2}\angle ACB\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle FIC = \dfrac{1}{2}\left( {\angle ABC + \angle ACB} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {{{180}^0} - \angle BAC} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {{{180}^0} - {{60}^0}} \right) = {60^0}\end{array}\)

Xét tam giác \(ADE\) có: \(AD = AE\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau), \(\angle BAC = \angle DAE = {60^0}\,\,\left( {gt} \right)\), do đó tam giác \(ADE\) đều \( \Rightarrow \angle AED = {60^0} \Rightarrow \angle FEC = \angle AED = {60^0}\) (đối đỉnh).

\( \Rightarrow \angle FIC = \angle FEC\,\,\left( { = {{60}^0}} \right)\) \( \Rightarrow \) Tứ giác \(EFCI\) nội tiếp (tứ giác có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau), do đó \(\angle BFC = \angle IFC = \angle IEC = {90^0}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(IC\)).

Xét tam giác \(BFC\) vuông tại \(F\) có trung tuyến \(FM\) ứng với cạnh huyền \(BC\) \( \Rightarrow FM = \dfrac{1}{2}BC\) (Định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).

Chứng minh tương tự: \(GM = \dfrac{1}{2}BC.\) Suy ra \(GM = FM \Rightarrow \Delta MFG\) cân tại \(M\).

Ta có: \(\angle GFM = \angle GFB + \angle BFM\).

Mà \(\angle GFB = \angle ACI = \dfrac{1}{2}\angle ACB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(IE\)).

\(\angle BFM = \angle MBI = \dfrac{1}{2}\angle ABC\) (do \(FM = \dfrac{1}{2}BC = MB\) nên tam giác \(MBF\) cân tại \(M\)).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle GFB + \angle BFM = \dfrac{1}{2}\left( {\angle ABC + \angle ACB} \right) = {60^0}\\ \Rightarrow \angle GFM = {60^0}\end{array}\)

Vậy tam giác \(GFM\) là tam giác đều.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link