Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = 1,\) \(AC = 2,\) \(AA' = 3\) và \(\angle BAC = {120^o}\).
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB = 1,\) \(AC = 2,\) \(AA' = 3\) và \(\angle BAC = {120^o}\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là các điểm trên cạnh \(BB',\,\,CC'\) sao cho \(BM = 3B'M\), \(CN = 2C'N\). Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BN} \right)\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Sử dụng công thức \({V_{M.A'BN}} = \dfrac{1}{3}.d\left( {M;\left( {A'BN} \right)} \right).{S_{A'BN}}\) để tính khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( {A'BN} \right)\).
- Tính thể tích khối chóp \(M.A'BN\) (coi đỉnh là \(N\)) dựa vào thể tích lăng trụ.
- Tính các cạnh của tam giác \(A'BN\) nhờ định lí Pytago.
- Sử dụng công thức He-rong để tính diện tích tam giác: \(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \) trong đó \(p\) là nửa chu vi, \(a,\,\,b,\,\,c\) là độ dài 3 cạnh của tam giác.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB = 1\\AC = 2\\\angle BAC = {120^0}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin A = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2} - 2AB.AC.\cos A} = \sqrt 7 \end{array} \right.\).
Lại có: \(\dfrac{{{S_{A'BM}}}}{{{S_{A'BB'}}}} = \dfrac{{BM}}{{BB'}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{{{V_{N.A'BM}}}}{{{V_{N.A'BB'}}}} = \dfrac{3}{4}\).
Mà \({V_{N.A'BB'}} = {V_{C'.A'BB'}} = {V_{B.A'B'C'}} = \dfrac{1}{3}.{V_{ABC.A'B'C'}}\).
\( \Rightarrow {V_{N.A'BM}} = \dfrac{1}{4}{V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{1}{4}.AA'.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{4}.3.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{8}\).
Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta có:
\(\begin{array}{l}A'B = \sqrt {A'{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \\BN = \sqrt {B{C^2} + C{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{2}{3}.3} \right)}^2}} = \sqrt {11} \\A'N = \sqrt {A'C{'^2} + C'{N^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( {\dfrac{1}{3}.3} \right)}^2}} = \sqrt 5 \end{array}\)
\( \Rightarrow \) Nửa chu vi tam giác \(A'BN\) là: \(p = \dfrac{{A'B + BN + A'N}}{2} = \dfrac{{\sqrt {10} + \sqrt {11} + \sqrt 5 }}{2}\)
Khi đó áp dụng công thức He-rong ta tính được: \({S_{A'BN}} = \sqrt {p\left( {p - A'B} \right)\left( {p - BN} \right)\left( {p - A'N} \right)} = \dfrac{{\sqrt {46} }}{2}\).
Ta lại có: \({V_{M.A'BN}} = \dfrac{1}{3}.d\left( {M;\left( {A'BN} \right)} \right).{S_{A'BN}}\).
\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {A'BN} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{M.A'BN}}}}{{{S_{A'BN}}}} = \dfrac{{3.\dfrac{{3\sqrt 3 }}{8}}}{{\dfrac{{\sqrt {46} }}{2}}} = \dfrac{{9\sqrt {138} }}{{184}}.\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
