Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(K\) là trung điểm của \(SC\). Mặt phẳng

Câu hỏi số 396939:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(K\) là trung điểm của \(SC\). Mặt phẳng qua \(AK\) cắt các cạnh \(SB,\,\,SD\) lần lượt tại \(M,\,\,N\). Gọi \({V_1},\,\,V\) thứ tự là thể tích của khối chóp \(S.AMKN\) và khối chóp \(S.ABCD\). Giá trị nhỏ nhất của tỷ số \(\dfrac{{{V_1}}}{V}\) bằng

A. \(\dfrac{1}{2}\)

B. \(\dfrac{2}{3}\)

C. \(\dfrac{3}{8}\)

D. \(\dfrac{1}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396939

Phương pháp giải

- Xác định các điểm \(M,\,\,N\).

- Đặt \(\dfrac{{SM}}{{SB}} = x,\,\,\,\dfrac{{SN}}{{SD}} = y\), tính tỉ số thể tích \(\dfrac{{{V_1}}}{V}\) bằng 2 cách theo \(x,\,\,y\).

- Rút \(x\) theo \(y\) hoặc ngược lại, tỉ số thể tích \(\dfrac{{{V_1}}}{V}\) lúc này chỉ được tính theo 1 ẩn \(x\) hoặc \(y\), sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN của hàm số.

Giải chi tiết

Gọi mặt phẳng chứa \(AK,\) cắt \(SB,\,\,SD\) lần lượt tại \(M,\,\,N\) là \(\left( \alpha \right)\) .

Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(I = AC \cap SO\).

Trong \(\left( {SBD} \right)\), lấy \(M \in SB\), nối \(MI\) cắt \(SD\) tại \(N\).

Khi đó ta có \(\left( \alpha \right) \equiv \left( {AMKN} \right)\).

Đặt: \(\dfrac{{SM}}{{SB}} = x,\,\,\,\dfrac{{SN}}{{SD}} = y.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{{{V_{SAMNK}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{V_{SAMK}} + {V_{SANK}}}}{{{V_{SABC}}}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}.\left( {\dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SK}}{{SC}} + \dfrac{{SN}}{{SD}}.\dfrac{{SK}}{{SC}}} \right) = \dfrac{1}{4}\left( {x + y} \right)\end{array}\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{{{V_{S.AMKN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{{V_{SAMN}} + {V_{SKMN}}}}{{{V_{SABD}}}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SD}} + \dfrac{{SK}}{{SC}}.\dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SD}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SD}}.\left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{{SK}}{{SC}}} \right) = \dfrac{3}{4}xy\end{array}\)

Từ đó ta có: \( \Rightarrow \dfrac{3}{4}xy = \dfrac{1}{4}\left( {x + y} \right)\)\( \Rightarrow x + y = 3xy \Leftrightarrow x = y\left( {3x - 1} \right)\)\( \Rightarrow y = \dfrac{x}{{3x - 1}}\).

Do \(x,\,\,y > 0 \Rightarrow 3x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{1}{3}\).

Khi đó ta có: \(\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{3}{4}xy = \dfrac{3}{4}.\dfrac{{{x^2}}}{{3x - 1}}\) với \(x > \dfrac{1}{3}\).

Đặt \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{3x - 1}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{2x\left( {3x - 1} \right) - 3{x^2}}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{x\left( {3x - 2} \right)}}{{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}}}\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{2}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ta thấy: \(\mathop {\min }\limits_{\left( {\dfrac{1}{3}; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( {\dfrac{2}{3}} \right) = \dfrac{4}{9}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\dfrac{{{V_1}}}{V}\) là \(\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{9} = \dfrac{1}{3}\), đạt được khi \(\dfrac{{SM}}{{SB}} = \dfrac{{SN}}{{SD}} = \dfrac{2}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.