Cho \(x,\,\,y\) là các số thực thỏa mãn \({2^{x + y - 1}}\left( {{3^{x + y}} + 1} \right) = 3x + 3y + 1\).

Câu hỏi số 396938:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,\,y\) là các số thực thỏa mãn \({2^{x + y - 1}}\left( {{3^{x + y}} + 1} \right) = 3x + 3y + 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + xy + {y^2}\).

A. \(1\)

B. \(\dfrac{3}{4}\)

C. \( - \dfrac{3}{4}\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396938

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(t = x + y\), đưa phương trình về dạng phương trình ẩn \(t\).

- Sử dụng định lí: Nếu phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có tối đa \(n\) nghiệm thì phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có tối đa \(n + 1\) nghiệm, từ đó xác định nghiệm \(t\) của phương trình.

- Ứng với mỗi trường hợp của \(t\), rút \(y\) theo \(x\) (ngoặc ngược lại), thế vào biểu thức \(P\) và tìm GTNN của \(P\) (có thể đánh giá hoặc khảo sát hàm số, lập BBT, …).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{2^{x + y - 1}}\left( {{3^{x + y}} + 1} \right) = 3x + 3y + 1\\ \Leftrightarrow {2^{x + y}}\left( {{3^{x + y}} + 1} \right) = 6x + 6x + 2\\ \Leftrightarrow {6^{x + y}} + {2^{x + y}} = 6\left( {x + y} \right) + 2\end{array}\)

Đặt \(x + y = t\), phương trình trở thành \({6^t} + {2^t} = 6t + 2\) \( \Leftrightarrow {6^t} + {2^t} - 6t - 2 = 0\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {6^t} + {2^t} - 6t - 2\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = {6^t}.\ln 6 + {2^t}.\ln 2 - 6\\f''\left( t \right) = {6^t}{\ln ^2}6 + {2^t}.{\ln ^2}2 > 0\,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\end{array}\)

Do đó hàm số \(y = f'\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), suy ra phương trình \(f'\left( t \right) = 0\) có nhiều nhất 1 nghiệm.

Suy ra phương trình \(f\left( t \right) = 0\) có nhiều nhất 2 nghiệm.

Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = {6^0} + {2^0} - 6.0 - 2 = 0\\f\left( 1 \right) = {6^1} + {2^1} - 6.1 - 2 = 0\end{array} \right.\), do đó phương trình \(f\left( t \right) = 0\) có đúng hai nghiệm \(t = 0\), \(t = 1\).

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = 0\\x + y = 2\end{array} \right.\)

TH1: \(x + y = 0 \Rightarrow y = - x\).

Thay vào \(P\) ta có: \(P = {x^2} + xy + {y^2} = {x^2} \ge 0\).

TH2: \(x + y = 2 \Leftrightarrow y = 2 - x\).

Thay vào \(P\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = {x^2} + x\left( {2 - x} \right) + {\left( {2 - x} \right)^2}\\\,\,\,\,\, = {x^2} + 2x - {x^2} + {x^2} - 4x + 4\\\,\,\,\,\, = {x^2} - 2x + 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 3 \ge 3\end{array}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(0\), đạt được khi \(x + y = 0\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.