Chứng minh với mọi giá trị của tham số \(m\) thì phương trình \({x^2} - \left( {m - 2} \right)x - 2m -

Câu hỏi số 398409:

Vận dụng

Chứng minh với mọi giá trị của tham số \(m\) thì phương trình \({x^2} - \left( {m - 2} \right)x - 2m - 1 = 0\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2\).

A. \(\min A = 5\)

B. \(\min A = 6\)

C. \(\min A = 7\)

D. \(\min A = 8\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:398409

Phương pháp giải

Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm phân biệt với \(\forall m\)\( \Leftrightarrow \Delta > 0\,\,\forall m.\)

Áp dụng hệ thức Vi-et để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2.\)

Giải chi tiết

Xét phương trình: \({x^2} - \left( {m - 2} \right)x - 2m - 1 = 0\) có:

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4.\left( { - 2m - 1} \right) = {m^2} - 4m + 4 + 8m + 4\\ = {m^2} + 4m + 8 = {\left( {m + 2} \right)^2} + 4 > 0\,\,\,\,\forall m\end{array}\)

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} = m - 2\\{x_1}{x_2} = - 2m - 1\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}A = x_1^2 + x_2^2 = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - 2{x_1}{x_2}\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\\\,\,\,\,\,\, = {\left( {m - 2} \right)^2} - 2.\left( { - 2m - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} - 4m + 4 + 4m + 2\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} + 6 \ge 6\,\,\forall m\\ \Rightarrow Min\,\,A = 6.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow m = 0.\)

Vậy \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(6\) khi và chỉ khi \(m = 0\).

Đáp án cần chọn là: B

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link