Cho tam giác nhọn \(ABC\) không cân nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). \(M,N\) theo thứ tự là

Câu hỏi số 398411:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn \(ABC\) không cân nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). \(M,N\) theo thứ tự là điểm chính giữa cung nhỏ \(AB,BC\) của \(\left( O \right)\). Đường thẳng \(MN\) lần lượt cắt \(AB,BC\) tại \(D,E\). Hai đường thẳng \(CM\) và \(AN\) cắt nhau tại \(I\), \(OM\) cắt \(AB\) tại \(H\), \(ON\) cắt \(BC\) tại \(K\).

1. Chứng minh tứ giác \(BHOK\) nội tiếp

2. Chứng minh \(NB = NC = NI\)

3. Chứng minh tứ giác \(MAID\) nội tiếp và đường thẳng \(DI\) song song với đường thẳng \(BC\).

4. Gọi \(P\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MBE\); \(BP\) cắt \(NO\) tại \(Q\). Chứng minh điểm \(Q\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:398411

Phương pháp giải

1. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}.\)

2. Ta thông qua tam giác đồng dạng để chứng minh: \(N{B^2} = N{I^2}\left( { = NM.NE} \right) \Rightarrow NB = NI = NC\)

3. Chứng minh 2 góc \(\widehat {DAI} = \widehat {DMI}\)nên tứ giác nội tiếp. Từ tứ giác nội tiếp suy ra \( \Rightarrow \widehat {ADI} = \widehat {ABC} \Rightarrow DI//BC\)

4. Chứng minh \(QN\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\) thông qua \(BN \bot BP\,.\)

Giải chi tiết

1. Chứng minh tứ giác \(BHOK\) nội tiếp

Do \(M,N\) theo thứ tự là điểm chính giữa cung nhỏ \(AB,BC\) của \(\left( O \right)\) nên: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle AOM = \angle BOM = \frac{{\angle AOB}}{2}\\\angle BON = \angle CON = \frac{{\angle BOC}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AM = BM\\BN = CN\end{array} \right.\) (các góc bằng nhau căng các dây bằng nhau).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OM \bot AB = \left\{ H \right\}\\ON \bot BC = \left\{ K \right\}\end{array} \right.\) (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung).

Hay \(\angle BHO = \angle BKO = {90^0}\)

Xét tứ giác \(BHOK\) ta có: \(\angle BHO + \angle BKO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện.

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BHOK\) nội tiếp. (dhnb)

2. Chứng minh \(NB = NC = NI\)

Ta có: \(\angle INE;\,\,\,\,\angle ICE\) lần lượt là các góc nội tiếp chắn các cung \(AM;MB\) của đường tròn \(\left( O \right)\)

Lại có: \(sd\,\,cung\,\,AM = sd\,\,cung\,\,MB = \frac{{sd\,\,cung\,\,AB}}{2}\)

\( \Rightarrow \angle INE = \angle ICE\,\,\)(định lý).

Xét tứ giác \(IENC\) có: \(\angle INE = \angle ICE\) mà \(N,\,C\) là 2 đỉnh kề nhau

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(IENC\) nội tiếp. (dhnb)

\( \Rightarrow \angle EIN = \angle ECN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EN\)).

Lại có: \(\angle NMC,\,\,\,\angle ECN\) lần lượt là các góc nội tiếp của đường tròn \(\left( O \right)\) chắn các cung \(NC,\,\,BN.\)

Mà \(sd\,\,cung\,\,NC = sd\,\,cung\,\,BN\,\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \angle NMC = \angle NCB\,\,\,hay\,\,\,\angle EMC = \angle ECN\) (định lý).

\( \Rightarrow \angle EIN = \angle EMC.\)

Xét \(\Delta EIN\) và \(\Delta IMN\) có:

\(\begin{array}{l}\angle N\,\,\,chung\\\angle EIN = \angle IMN\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta EIN \sim \Delta IMN\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{IN}}{{NM}} = \frac{{NE}}{{IN}}\\ \Rightarrow I{N^2} = NM.NE\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Tương tự ta chứng minh được: \(\Delta NBE \sim \Delta NMB\left( {g - g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{NB}}{{NM}} = \frac{{NE}}{{NB}}\\ \Rightarrow N{B^2} = NM.NE\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(N{B^2} = N{I^2}\left( { = NM.NE} \right) \Rightarrow NB = NI = NC\)

Vậy \(NB = NC = NI.\)

3. Chứng minh tứ giác \(MAID\) nội tiếp và đường thẳng \(DI\) song song với đường thẳng \(BC\).

Ta có: \(\angle BAN;\,\,\,\angle NMC\) lần lượt là các góc nội tiếp chắn cung \(BN;NC\) của đường tròn \(\left( O \right)\)

Lại có: \(sd\,\,cung\,\,BN = sd\,\,cung\,\,NC = \frac{{sd\,\,cung\,\,BC}}{2}\)

\( \Rightarrow \angle BAN = \angle NMC\,\,hay\,\,\,\angle DAI = \angle DMI\)

Xét tứ giác \(MAID\) có: \(\angle DAI = \angle DMI\) mà \(A,\,M\) là 2 đỉnh kề nhau

\( \Rightarrow \) tứ giác \(MAID\) nội tiếp. (dhnb)

Suy ra: \(\angle AMI = \angle ADI\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AI\))

Lại có: \(\angle AMC = \angle ABC\) (cùng chắn cung \(AC\)của \(\left( O \right)\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ADI = \angle ABC\\ \Rightarrow DI//BC\end{array}\)

(Do có 2 góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)

Vậy tứ giác \(MAID\) nội tiếp và đường thẳng \(DI\) song song với đường thẳng \(BC\).

4. Gọi \(P\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MBE\); \(BP\) cắt \(NO\) tại \(Q\). Chứng minh điểm \(Q\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\).

Ta có: \(\angle NBE = \angle BME\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

Suy ra \(BN\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MBE\)

\( \Rightarrow BN \bot BP\,\,\,\,hay\,\,\,BQ \bot BN\)

Suy ra \(QN\) là đường kính của đường tròn \(\left( O \right)\)

Vậy điểm \(Q\) thuộc đường tròn \(\left( O \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link