Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 4(x + y + z) = 3xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = + +

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 39887:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 4(x + y + z) = 3xyz

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = $\frac{1}{2 + x + yz}$ + $\frac{1}{2 + y + zx}$ + $\frac{1}{2 + z + xy}$

A. maxP = $\frac{3}{8}$

B. maxP = $\frac{2}{8}$

C. maxP = $\frac{1}{8}$

D. maxP = $\frac{5}{8}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:39887

Giải chi tiết

Áp dụng BĐT Côsi ta có: 3xyz = 4(x + y + z) ≥ 4.3 $\sqrt[3]{xyz}$ , nên xyz ≥ 8

Tiếp tục áp dụng BĐT Côsi ta đươc:

2 + x + yz ≥ 2 $\sqrt{2x}$ + yz ≥ 2. $\sqrt{2yz \sqrt{2x}}$ = 2. $\sqrt{2yz \sqrt{2x}}$ = 2 $\sqrt{2\sqrt{2xyz}\sqrt{yz}}$ ≥ 4√2. $\sqrt[4]{yz}$

Suy ra

$\frac{1}{2 + x + yz}$ $\leq$ $\frac{1}{4\sqrt{2}}\ .\frac{1}{\sqrt[4]{yz}}$ $\leq$ $\frac{1}{4}\ .\frac{1}{2}\ . \left ( \frac{1}{2}\ + \frac{1}{\sqrt{yz}} \right )$ $\leq$ $\frac{1}{8}\ .\left ( \frac{1}{2}\ +\frac{1}{4} +\frac{1}{yz}\right )$ = $\frac{1}{8}\left (\frac{3}{4} +\frac{1}{yz}\right )$

Tương tự ta cũng có

$\frac{1}{2 + z + xy}$ $\leq$ $\frac{1}{8}\ .\left ( \frac{3}{4}\ + \frac{1}{xy}\right )$

$\frac{1}{2 + z + zx}$ $\leq$ $\frac{1}{8}\ .\left ( \frac{3}{4}\ + \frac{1}{zx}\right )$

Khi đó P $\leq$ $\frac{1}{8}$ . ( $\frac{9}{4}$ + $\frac{1}{xy}$ + $\frac{1}{yz}$ + $\frac{1}{zx}$ ) = $\frac{1}{8}\left ( \frac{9}{4} +\frac{3}{4}\right )=\frac{3}{8}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.