Cho hai số nguyên dương \(x,y\) với \(x > 1\) và thỏa mãn điều kiện: \(2{x^2} - 1 = {y^{15}}.\)

Câu hỏi số 399747:

Vận dụng cao

Cho hai số nguyên dương \(x,y\) với \(x > 1\) và thỏa mãn điều kiện: \(2{x^2} - 1 = {y^{15}}.\) Chứng minh rằng \(x\) chia hết cho 15.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399747

Phương pháp giải

Phương pháp tìm ước chung lớn nhất kết hợp đồng dư thức, đây là bài toán vận dụng cao, có thể nói là khó nhất đề.

Giải chi tiết

Trước tiên ta chứng minh \(x\) chia hết cho 3.

\(2{x^2} - 1 = {y^{15}} \Leftrightarrow 2{x^2} = \left( {{y^5} + 1} \right)\left( {{y^{10}} - {y^5} + 1} \right).\)

Giả sử \(\left( {{y^5} + 1,{y^{10}} - {y^5} + 1} \right) = d,\,\,d \in {\mathbb{N}^*}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^5} \equiv - 1\,\,\,\left( {\bmod \,d} \right)\\{y^{10}} - {y^5} + 1 \equiv 1 + 1 + 1\,\,\,\left( {\bmod \,d} \right)\end{array} \right.\).

Mà \({y^{10}} - {y^5} + 1\,\, \vdots \,\,d \Rightarrow 3\,\, \vdots \,\,d\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 1\\d = 3\end{array} \right..\)

Nếu \(d = 3 \Rightarrow 2{x^2}\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow x\,\, \vdots \,\,3.\)

Nếu \(d = 1\), do \(2{x^2} = \left( {{y^5} + 1} \right)\left( {{y^{10}} - {y^5} + 1} \right)\) nên có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}{y^5} + 1 = 2{a^2}\\{y^{10}} - {y^5} + 1 = {b^2}\end{array} \right.\) (với \(a \ge 1,b \ge 1\)) \( \Rightarrow {y^5} = 2{a^2} - 1 \Rightarrow {\left( {2{a^2} - 1} \right)^2} - \left( {2{a^2} - 1} \right) + 1 = {b^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4{a^4} - 6{a^2} + 3 = {b^2}\\ \Rightarrow 16{a^4} - 24{a^2} + 12 = 4{b^2}\\ \Rightarrow {\left( {4{a^2} - 3} \right)^2} + 3 = 4{b^2}\\ \Rightarrow \left( {2b - 4{a^2} + 3} \right)\left( {2b + 4{a^2} - 3} \right) = 3\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b - 4{a^2} + 3 = 1\\2b + 4{a^2} - 3 = 3\end{array} \right.\,\,\left( {{\rm{ do }}2b + 4{a^2} - 3 > 2b - 4{a^2} + 3 > 0} \right)\\ \Rightarrow a = b = 1 \Rightarrow x = y = 1\end{array}\)

Không thỏa mãn vì \(x > 1.\)

Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}{y^5} + 1 = {a^2}\\{y^{10}} - {y^5} + 1 = 2{b^2}\end{array} \right.\) (với \(a \ge 1,b \ge 1\)) \( \Rightarrow {y^5} = {a^2} - 1 \Rightarrow {\left( {{a^2} - 1} \right)^2} - \left( {{a^2} - 1} \right) + 1 = 2{b^2}\).

Nếu \(a\,\,\not \vdots \,\,3 \Rightarrow {a^2} - 1\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow 2{b^2} \equiv 1\,\,\left( {\bmod \,3} \right) \Rightarrow {b^2} \equiv 2\,\,\left( {\bmod \,3} \right)\), vô lý.

Nếu \(a\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow \) \({y^5} + 1\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow x\,\, \vdots \,\,3.\)

Vậy \(x\,\, \vdots \,\,3.\)

Tiếp theo ta sẽ chứng minh \(x\,\)chia hết cho 5.

\(\begin{array}{l}2{x^2} - 1 = {y^{15}} \Leftrightarrow 2{x^2} = {y^{15}} + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2{x^2} = \left( {{y^3} + 1} \right)\left( {{y^{12}} - {y^9} + {y^6} - {y^3} + 1} \right).\end{array}\)

Giả sử \(\left( {{y^3} + 1,{y^{12}} - {y^9} + {y^6} - {y^3} + 1} \right) = d\,\left( {d \in {\mathbb{N}^*}} \right).\) Lập luận tương tự ta được \(d = 1\) hoặc \(d = 5.\)

Với \(d = 5 \Rightarrow x\,\, \vdots \,\,5.\)

Với \(d = 1\), lập luận tương tự như trên ta cũng được \(x\,\, \vdots \,\,5.\)

Vì \(x\) chia hết cho 3 và 5, mà \(\left( {3,5} \right) = 1\) nên \(x\) chia hết cho 15.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link