Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) với \(AB <

Câu hỏi số 399748:

Vận dụng cao

Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) với \(AB < AC.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC,\,\,AM\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm \(D\) khác \(A.\) Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MDC\) cắt đường thẳng \(AC\) tại \(E\) khác \(C.\) Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(MDB\) cắt đường thẳng \(AB\) tại \(F\) khác \(B.\)

1. Chứng minh rằng hai tam giác \(BDF,\,\,CDE\) đồng dạng.

2. Chứng minh rằng ba điểm \(M,E,F\) thẳng hàng và \(OA \bot EF.\)

3. Đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt \(EF\) tại điểm \(N.\) Đường phân giác của \(\widehat {CEN}\) cắt \(CN\) tại điểm \(P,\) đường phân giác của \(\widehat {BFN}\) cắt \(BN\) tại điểm \(Q.\) Chứng minh \(PQ\) song song với \(BC.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399748

Phương pháp giải

1. Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp.

2. Cộng góc linh hoạt.

3. Sử dụng tính chất đường phân giác, định lý Thales đảo.

Giải chi tiết

1. Chứng minh rằng hai tam giác \(BDF,\,\,CDE\) đồng dạng.

Ta có \(\widehat {DBF} = \widehat {DCA}\) (\(ABDC\) nội tiếp). (1)

\(\widehat {BFD} = \widehat {BMA}\) (\(BFDM\) nội tiếp),

\(\widehat {CED} = \widehat {CMD}\) (\(CEMD\) nội tiếp).

Mà \(\widehat {BMA} = \widehat {CMD} \Rightarrow \widehat {BFD} = \widehat {CED}.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta BFD \sim \Delta CED\,\,\,\left( {g.g} \right).\)

2. Chứng minh rằng ba điểm \(M,E,F\) thẳng hàng và \(OA \bot EF.\)

Từ câu 1, suy ra \(\widehat {BDF} = \widehat {CDE}\) (hai góc tương ứng).

Mà \(\widehat {BDF} = \widehat {BMF}\) (tứ giác \(BMDF\) nội tiếp)

\(\widehat {CDE} = \widehat {CME}\) (tứ giác \(CDME\) nội tiếp)

\( \Rightarrow \widehat {BMF} = \widehat {CME}\).

Mà hai góc này ở vị trí hai góc đồng vị, suy ra \(M,E,F\) thẳng hàng.

Ta có \(\widehat {AEM} = \widehat {ADC} = \dfrac{1}{2}\widehat {AOC}\) (tứ giác \(CDME\) nội tiếp)

\( \Rightarrow \widehat {OAC} + \widehat {AEM} = \widehat {OAC} + \dfrac{1}{2}\widehat {AOC}.\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC\) ta có \(OH \bot AC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

\( \Rightarrow OH\) là đường cao đồng thời là phân giác của \(\angle AOC\) (do tam giác \(OAC\) cân tại \(O\)).

Khi đó ta có: \(\widehat {OAC} + \dfrac{1}{2}\widehat {AOC} = \widehat {OAC} + \widehat {AOH} = {90^0}\) (do tam giác \(OAH\) vuông tại \(H\))

\( \Rightarrow \widehat {OAC} + \widehat {AEM} = 90^\circ \Rightarrow OA \bot EF.\)

3. Đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt \(EF\) tại điểm \(N.\) Đường phân giác của \(\widehat {CEN}\) cắt \(CN\) tại điểm \(P,\) đường phân giác của \(\widehat {BFN}\) cắt \(BN\) tại điểm \(Q.\) Chứng minh \(PQ\) song song với \(BC.\)

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

\(\dfrac{{QB}}{{QN}} = \dfrac{{FB}}{{FN}};\,\,\dfrac{{PC}}{{PN}} = \dfrac{{EC}}{{EN}}.\)

Ta sẽ chứng minh \(\dfrac{{FB}}{{FN}} = \dfrac{{EC}}{{EN}} \Leftrightarrow \dfrac{{FB}}{{EC}} = \dfrac{{FN}}{{EN}}.\)

Lại có \(\dfrac{{FB}}{{EC}} = \dfrac{{DF}}{{DE}}\) (tam giác đồng dạng), \(\dfrac{{FN}}{{EN}} = \dfrac{{AF}}{{AE}}\) (tính chất đường phân giác).

Vậy ta sẽ chứng minh \(\dfrac{{DF}}{{DE}} = \dfrac{{AF}}{{AE}}.\)

Vì \(\Delta AMC \sim \Delta AED\,\,(g.g)\)\( \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{AE}} = \dfrac{{MC}}{{ED}} = \dfrac{{MB}}{{ED}}\) (do \(MC = MB\))

\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{ED}} = \dfrac{{AM}}{{MB}}\), mà \(\dfrac{{AM}}{{MB}} = \dfrac{{AF}}{{FD}}\,\,\left( {\Delta AMB \sim \Delta AFD} \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{ED}} = \dfrac{{AF}}{{FD}}\) hay \(\dfrac{{DF}}{{DE}} = \dfrac{{AF}}{{AE}}.\)

Suy ra \(\dfrac{{QB}}{{QN}} = \dfrac{{PC}}{{PN}} \Rightarrow PQ\,{\rm{//}}\,BC.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link