Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA' = 2a; AB = AC = a (a > 0) và góc giữa cạnh bên AA' và mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BC) theo a biết rằng hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC.

Câu hỏi số 40052:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AA' = 2a; AB = AC = a (a > 0) và góc giữa cạnh bên AA' và mặt phẳng (ABC) bằng 60^o. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A’BC) theo a biết rằng hình chiếu của điểm A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC.

A. V = $\frac{3a^{3}}{4}$ ; d = $\frac{4a}{\sqrt{7}}$

B. V = $\frac{3a^{3}}{4}$ ; d = $\frac{2a}{\sqrt{7}}$

C. V = $\frac{3a^{3}}{4}$ ; d = $\frac{3a}{\sqrt{7}}$

D. V = $\frac{3a^{3}}{4}$ ; d = $\frac{a}{\sqrt{7}}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:40052

Giải chi tiết

Theo bài ra góc giữa cạnh bên AA' và mặt phẳng (ABC) bằng 60^onên góc A'AH = 60^ovà do AA'= 2a nên A'H= a√3 là một đường cao của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và AH = a.

Mặt khác tam giác ABC cân tại A nên nếu gọi M là trung điểm của cạnh BC thì đoạn AM là 1 đường cao của tam giác ABC và AM < AC = AB = AH = a nên H nằm ngoài tam giác ABC và nằm trên tia đối của tia AM suy ra A là trọng tâm của tam giác HBC.

Khi đó ta có AM = $\frac{a}{2}$ => BC= 2MC = a√3

=> S_ABC= $\frac{1}{2}$ .BC.AM = $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$

Thể tích khối lăng trụ đã cho là: V = A'H S_ABC= $\frac{3a^{3}}{4}$

Nối A'M ,ta có (A'HM) ⊥ BC khi đó kẻ HK ⊥ A'M, K ∈ A'M thì HK ⊥ (A'BC) nên d(H; (A'BC)) = HK. Ta có:

$\frac{1}{HK^{2}}=\frac{1}{A'H^{2}}+\frac{1}{HM^{2}}$ =>....=> HK = $\frac{3a}{\sqrt{7}}$

Suy ra khoảng cách d(H, (A'BC)) = $\frac{3a}{\sqrt{7}}$

Ta lại có $\frac{d(H,(A'BC))}{d(A,(A'BC))}$ = $\frac{HM}{AM}$ = 3

Vậy khoảng cách d(A; (A'BC)) = $\frac{a}{\sqrt{7}}$ .

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.