Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: z(z - x - y) = x + y + 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T =

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 40103:

Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: z(z - x - y) = x + y + 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = $\frac{x^{4}y^{4}}{(x+yz).(y+zx).(z+xy)^{3}}$

A. Max T = 1

B. Max T = $\frac{3^{6}}{4^{9}}$

C. Max T = $\frac{3^{6}}{4^{5}}$

D. Max T = $\frac{3^{5}}{4^{9}}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:40103

Giải chi tiết

Vì z(z - x - y ) = x + y + 1 => (z + 1)(x + y) = z² - 1 và do z > 0 nên ta có:

x + y + 1 = z

Khi đó: T = $\frac{x^{4}y^{4}}{(x+y)(1+y)(x+y)(1+x)[(x+1)(y+1)]^{3}}$

= $\frac{x^{4}y^{4}}{(x+y)^{2}.[(x+1)(y+1)]^{4}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương x, y ta có:

(x + 1)⁴ = $(\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+\frac{x}{3}+1)^{4}$ ≥ $(4\sqrt[4]{\frac{x^{3}}{27}})^{4}$ = 4⁴. $\frac{x^{3}}{27}$

(y + 1)⁴ = $(\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+1)^{4}$ ≥ $(4\sqrt[4]{\frac{y^{3}}{27}})^{4}$ = 4⁴. $\frac{y^{3}}{27}$ , (x + y)² ≥ 4xy

Do đó (x + y)².[(x + 1)(y + 1)]⁴ ≥ 4xy.4⁸. $\frac{x^{3}.y^{3}}{3^{6}}$ = $\frac{4^{9}}{3^{6}}$ .x⁴.y⁴.

Suy ra T ≤ $\frac{3^{6}}{4^{9}}$ (*)

Dấu = ở (*) xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} \frac{x}{3}=\frac{y}{3}=1\\ z=x+y+1 \end{matrix}\right.$ ⇔ x = 3, y = 3, z = 7

Vậy Max T = $\frac{3^{6}}{4^{9}}$ khi x = 3, y = 4, z = 7

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.