Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho mặt phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(y = \sin

Câu hỏi số 402118:

Vận dụng

Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi cho mặt phẳng giới hạn bởi các đường thẳng \(y = \sin x;\)\(y = 0;\)\(x = 0;\)\(x = 2\pi \) quay quanh trục \(Ox\) là:

A. \(V = \dfrac{\pi }{4}.\)

B. \(V = \dfrac{\pi }{2}.\)

C. \(V = \dfrac{{{\pi ^2}}}{2}.\)

D. \(V = {\pi ^2}.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402118

Phương pháp giải

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm các nghiệm thuộc \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

- Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), \(y = g\left( x \right)\), đường thẳng \(x = a\), \(x = b\) khi quanh quay trục hoành là: \(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {{f^2}\left( x \right) - {g^2}\left( x \right)} \right|dx} \).

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \).

Trên \(\left[ {0;2\pi } \right]\) phương trình trên có 3 nghiệm \(x = 0,\,\,x = \pi ,\,\,x = 2\pi \).

Hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sin x;\) \(y = 0;\) \(x = 0;\) \(x = 2\pi \) quay quanh trục \(Ox\) là :

\(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{2\pi } {\left| {{{\sin }^2}x} \right|dx} \\\,\,\,\,\, = \pi \left( {\int\limits_0^\pi {\left| {{{\sin }^2}x} \right|dx} + \int\limits_\pi ^{2\pi } {\left| {{{\sin }^2}x} \right|dx} } \right)\\\,\,\,\,\, = \pi \left( {\left| {\int\limits_0^\pi {{{\sin }^2}xdx} } \right| + \left| {\int\limits_\pi ^{2\pi } {{{\sin }^2}xdx} } \right|} \right)\end{array}\)

Xét nguyên hàm: \(\int {{{\sin }^2}dx} \) ta có:

\(\int {{{\sin }^2}dx} = \dfrac{1}{2}\int {\left( {1 - \cos 2x} \right)dx} \)\( = \dfrac{1}{2}\left( {x - \dfrac{1}{2}\sin 2x} \right) + C\) \( = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin 2x + C\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}V = \pi \left( {\left| {\left. {\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin 2x} \right|_0^\pi } \right| + \left| {\left. {\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin 2x} \right|_\pi ^{2\pi }} \right|} \right)\\\,\,\,\,\, = \pi \left( {\dfrac{1}{2}\pi + \dfrac{1}{2}.2\pi - \dfrac{1}{2}\pi } \right) = {\pi ^2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.