Để hàm số \(F\left( x \right) = \left( {a\sin x + b\cos x} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm

Câu hỏi số 402695:

Thông hiểu

Để hàm số \(F\left( x \right) = \left( {a\sin x + b\cos x} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số

\(f\left( x \right) = \left( {3\sin x - 2\cos x} \right){e^x}\) thì giá trị \(a + b\) là:

A. \(a + b = - 2.\)

B. \(a + b = 2.\)

C. \(a + b = - 3.\)

D. \(a + b = 3.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:402695

Phương pháp giải

- \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\) và tính tổng \(a + b\).

Giải chi tiết

Vì \(F\left( x \right) = \left( {a\sin x + b\cos x} \right){e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \left( {3\sin x - 2\cos x} \right){e^x}\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}F'\left( x \right) = f\left( x \right)\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {a\sin x + b\cos x} \right)'{e^x} + \left( {a\sin x + b\cos x} \right)\left( {{e^x}} \right)'\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {a\cos x - b\sin x + a\sin x + b\cos x} \right){e^x}\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \left[ {\left( {a - b} \right)\sin x + \left( {a + b} \right)\cos x} \right]{e^x}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = 3\\a + b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = - \dfrac{5}{2}\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(a + b = \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{2} = - 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.