Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\left( {x + 1}

Câu hỏi số 403120:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }}\) với \(x \ge 0\). Khi đó \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \(\sqrt {32} - \sqrt {12} - 1\)

B. \(\dfrac{{17}}{3} - \dfrac{8}{3}\sqrt 2 \)

C. \(\sqrt {32} + \sqrt {12} + 1\)

D. \(\dfrac{{17}}{3} + \dfrac{8}{3}\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403120

Phương pháp giải

- Biến đổi \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\). Tìm \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \).

- Sử dụng nguyên hàm mở rộng: \(\int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {ax + b} }}} = \dfrac{2}{a}\sqrt {ax + b} + C\).

- Thay \(x = 0\) tìm hằng số \(C\). Từ đó suy ra hàm số \(f\left( x \right)\).

- Tính \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng MTCT.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{\sqrt x .\sqrt {x + 1} \left( {\sqrt {x + 1} + \sqrt x } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt x }}{{\sqrt x .\sqrt {x + 1} }} = \dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }}\end{array}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x }} - \dfrac{1}{{\sqrt {x + 1} }}} \right)dx} \) \( = 2\sqrt x - 2\sqrt {x + 1} + C\).

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 1 \Leftrightarrow - 2 + C = 1 \Leftrightarrow C = 3\). Suy ra \(f\left( x \right) = 2\sqrt x - 2\sqrt {x + 1} + 3\).

Vậy \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {\left( {2\sqrt x - 2\sqrt {x - 1} + 3} \right)dx} = \dfrac{{17}}{3} - \dfrac{8}{3}\sqrt 2 \) (sử dụng MTCT).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.