Cho hình nón có chiều cao bằng \(3\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều. Biết góc giữa đường thẳng chứa trục của hình nón và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \({45^0}\). Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng:

Câu 403122: Cho hình nón có chiều cao bằng \(3\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều. Biết góc giữa đường thẳng chứa trục của hình nón và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \({45^0}\). Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng:

A. \(5\sqrt {24} \pi \)

B. \(15\sqrt {25} \pi \)

C. \(45\pi \)

D. \(15\pi \)

Câu hỏi : 403122

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Gọi thiết diện của hình nón cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) là tam giác đều \(SAB\), \(I\) là tâm đáy, \(M\) là trung điểm của \(AB\).

- Xác định góc giữa \(SI\) và \(\left( {SAB} \right)\) là góc giữa \(SI\) và hình chiếu của \(SI\) lên \(\left( {SAB} \right)\).

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân và định lí Pytago tính bán kính đáy hình nón.

- Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi thiết diện của hình nón cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) là tam giác đều \(SAB\), \(I\) là tâm đáy, \(M\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot IM\\AB \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SIM} \right)\) \( \Rightarrow AB \bot SM\).

Trong \(\left( {SIM} \right)\) kẻ \(IH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}IH \bot SM\\IH \bot AB\,\,\left( {AB \bot \left( {SIM} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow IH \bot \left( {SAB} \right)\). Do đó \(SH\) là hình chiếu của \(SI\) lên \(\left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SI;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {SI;SH} \right) = \angle \left( {SI;SM} \right) = \angle ISM = {45^0}\). Suy ra tam giác .. vuông cân tại \(I\).

\( \Rightarrow IM = SI = 3,\,\,SM = 3\sqrt 2 \).

Vì \(SM\) là chiều cao của tam giác đều \(SAB\) \( \Rightarrow SM = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2}\) \( \Leftrightarrow 3\sqrt 2 = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow AB = 2\sqrt 6 \).

\( \Rightarrow MA = MB = \dfrac{1}{2}AB = \sqrt 6 \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(AMI\) có: \(IA = \sqrt {I{M^2} + M{A^2}} = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}} = \sqrt {15} \).

\( \Rightarrow \) Bán kính đáy hình nón là \(R = IA = \sqrt {15} \).

Vậy thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi .I{A^2}.SI = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\sqrt {15} } \right)^2}.3 = 15\pi \).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.