Cho hình nón có chiều cao bằng \(3\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua đỉnh hình nón

Câu hỏi số 403122:

Vận dụng

Cho hình nón có chiều cao bằng \(3\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác đều. Biết góc giữa đường thẳng chứa trục của hình nón và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \({45^0}\). Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng:

A. \(5\sqrt {24} \pi \)

B. \(15\sqrt {25} \pi \)

C. \(45\pi \)

D. \(15\pi \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403122

Phương pháp giải

- Gọi thiết diện của hình nón cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) là tam giác đều \(SAB\), \(I\) là tâm đáy, \(M\) là trung điểm của \(AB\).

- Xác định góc giữa \(SI\) và \(\left( {SAB} \right)\) là góc giữa \(SI\) và hình chiếu của \(SI\) lên \(\left( {SAB} \right)\).

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân và định lí Pytago tính bán kính đáy hình nón.

- Thể tích khối nón có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Giải chi tiết

Gọi thiết diện của hình nón cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) là tam giác đều \(SAB\), \(I\) là tâm đáy, \(M\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot IM\\AB \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SIM} \right)\) \( \Rightarrow AB \bot SM\).

Trong \(\left( {SIM} \right)\) kẻ \(IH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}IH \bot SM\\IH \bot AB\,\,\left( {AB \bot \left( {SIM} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow IH \bot \left( {SAB} \right)\). Do đó \(SH\) là hình chiếu của \(SI\) lên \(\left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SI;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {SI;SH} \right) = \angle \left( {SI;SM} \right) = \angle ISM = {45^0}\). Suy ra tam giác .. vuông cân tại \(I\).

\( \Rightarrow IM = SI = 3,\,\,SM = 3\sqrt 2 \).

Vì \(SM\) là chiều cao của tam giác đều \(SAB\) \( \Rightarrow SM = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2}\) \( \Leftrightarrow 3\sqrt 2 = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow AB = 2\sqrt 6 \).

\( \Rightarrow MA = MB = \dfrac{1}{2}AB = \sqrt 6 \).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(AMI\) có: \(IA = \sqrt {I{M^2} + M{A^2}} = \sqrt {{3^2} + {{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2}} = \sqrt {15} \).

\( \Rightarrow \) Bán kính đáy hình nón là \(R = IA = \sqrt {15} \).

Vậy thể tích khối nón là \(V = \dfrac{1}{3}\pi .I{A^2}.SI = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\sqrt {15} } \right)^2}.3 = 15\pi \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.