Cho các số \(a,\,\,b > 0\) thỏa mãn \({\log _3}a = {\log _6}b = {\log _2}\left( {a + b} \right)\). Giá trị

Câu hỏi số 403123:

Vận dụng

Cho các số \(a,\,\,b > 0\) thỏa mãn \({\log _3}a = {\log _6}b = {\log _2}\left( {a + b} \right)\). Giá trị \(\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}\) bằng:

A. \(18\)

B. \(45\)

C. \(27\)

D. \(36\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403123

Phương pháp giải

- Đặt \({\log _3}a = {\log _6}b = {\log _2}\left( {a + b} \right) = t\), rút \(a,\,\,b\) theo \(t\).

- Rút ra phương trình ẩn \(t\), sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình mũ.

- Tìm \(a,\,\,b\) và tính \(\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}}\).

Giải chi tiết

Đặt \({\log _3}a = {\log _6}b = {\log _2}\left( {a + b} \right) = t\), khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a = {3^t}\\b = {6^t}\\a + b = {2^t}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {3^t} + {6^t} = {2^t}\).

Chia cả 2 vế cho \({2^t}\) ta có: \({\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^t} + {3^t} = 1\,\,\,\left( 1 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^t} + {3^t}\) ta có: \(f'\left( t \right) = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^t}\ln \dfrac{3}{2} + {3^t}\ln 3 > 0\,\,\forall t\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Mà \(f\left( { - 1} \right) = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} = 1\), do đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(t = - 1\).

\( \Rightarrow a = {3^{ - 1}} = \dfrac{1}{3},\,\,b = {6^{ - 1}} = \dfrac{1}{6}\).

Vậy \(\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{b^2}}} = 9 + 36 = 45\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.