Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {m

Câu hỏi số 403125:

Vận dụng

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{3}}^2{\left( {x - 3} \right)^2} + 4\left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{3}}}\dfrac{1}{{x - 3}} + \) \(4\left( {m - 1} \right) = 0\) có nghiệm trên \(\left[ {\dfrac{{10}}{3};6} \right]\). Số phần tử của tập \(S\) bằng:

A. \(5\)

B. \(3\)

C. \(6\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403125

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right)\). Đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(g\left( t \right) = m\).

- Phương trình có nghiệm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} g\left( t \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} g\left( t \right)\), với \(\left[ {a;b} \right]\) là khoảng giá trị của \(t\) theo \(x\).

- Khảo sát hàm số \(y = g\left( t \right)\), tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} g\left( t \right);\,\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} g\left( t \right)\) và kết luận.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{3}}^2{\left( {x - 3} \right)^2} + 4\left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{3}}}\dfrac{1}{{x - 3}} + 4\left( {m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{3}}^2\left( {x - 3} \right) - 4\left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right) + 4\left( {m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right)\log _{\frac{1}{3}}^2\left( {x - 3} \right) - \left( {m - 5} \right){\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right) + \left( {m - 1} \right) = 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {x - 3} \right)\). Với \(x \in \left[ {\dfrac{{10}}{3};6} \right]\) thì \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Phương trình trở thành: \(\left( {m - 1} \right){t^2} - \left( {m - 5} \right)t + m - 1 = 0\).

Bài toán trở thành: Tìm giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(\left( {m - 1} \right){t^2} - \left( {m - 5} \right)t + m - 1 = 0\) (*) có nghiệm \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow m = \dfrac{{{t^2} - 5t + 1}}{{{t^2} - t + 1}}\) có nghiệm \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Đặt \(g\left( t \right) - \dfrac{{{t^2} - 5t + 1}}{{{t^2} - t + 1}}\), khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( t \right) \le m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( t \right)\).

Xét hàm số \(g\left( t \right) - \dfrac{{{t^2} - 5t + 1}}{{{t^2} - t + 1}}\) trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) ta có:

\(\begin{array}{l}g'\left( t \right) = \dfrac{{\left( {2t - 5} \right)\left( {{t^2} - t + 1} \right) - \left( {{t^2} - 5t + 1} \right)\left( {2t - 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}}\\g'\left( t \right) = \dfrac{{2{t^3} - 2{t^2} + 2t - 5{t^2} + 5t - 5 - 2{t^3} + {t^2} + 10{t^2} - 5t - 2t + 1}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}}\\g'\left( t \right) = \dfrac{{4{t^2} - 4}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{4\left( {{t^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]\end{array}\)

Lại có hàm số \(y = g\left( t \right)\) liên tục trên \(\left[ { - 1;1} \right]\), do đó hàm số \(y = g\left( t \right)\) nghịch biến trên \(\left[ { - 1;1} \right]\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( t \right) = g\left( 1 \right) = - 3;\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( t \right) = g\left( { - 1} \right) = \dfrac{7}{3}\).

Suy ra \( - 3 \le m \le \dfrac{7}{3}\). Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2} \right\}\).

Vậy có 6 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.