Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) thỏa mãn

Câu hỏi số 403130:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) thỏa mãn \(xf\left( {{x^2}} \right) - f\left( {2x} \right) = {x^3} - \dfrac{1}{{2x}} - 2\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\). Giá trị của \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} \) nằm trong khoảng nào?

A. \(\left( {5;6} \right)\)

B. \(\left( {3;4} \right)\)

C. \(\left( {1;2} \right)\)

D. \(\left( {2;3} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403130

Phương pháp giải

- Lấy tích phân từ 1 đến 2 hai vế.

- Sử dụng vi phân hoặc phương pháp đổi biến số cho VT, VP áp dụng các công thức nguyên hàm cơ bản.

- Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,xf\left( {{x^2}} \right) - f\left( {2x} \right) = {x^3} - \dfrac{1}{{2x}} - 2\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\\ \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {\left[ {xf\left( {{x^2}} \right) - f\left( {2x} \right)} \right]dx} = \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - \dfrac{1}{{2x}} - 2} \right)dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {xf\left( {{x^2}} \right)dx} - \int\limits_1^2 {f\left( {2x} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^4}}}{4} - \dfrac{1}{2}\ln \left| x \right| - 2x} \right)} \right|_1^2\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {f\left( {{x^2}} \right)d\left( {{x^2}} \right)} - \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {f\left( {2x} \right)d\left( {2x} \right)} = \dfrac{7}{4} - \dfrac{1}{2}\ln 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\int\limits_1^4 {d\left( x \right)dx} - \dfrac{1}{2}\int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{7}{4} - \dfrac{1}{2}\ln 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_1^4 {d\left( x \right)dx} - \int\limits_2^4 {f\left( x \right)dx} } \right) = \dfrac{7}{4} - \dfrac{1}{2}\ln 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\int\limits_1^2 {d\left( x \right)dx} = \dfrac{7}{4} - \dfrac{1}{2}\ln 2\\ \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {d\left( x \right)dx} = \dfrac{7}{2} - \ln 2 \approx 2,81 \in \left( {2;3} \right)\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.