Có bao nhiêu số nguyên của \(m\) để phương trình \({\log _2}\left( {2x + m} \right) - 2{\log _2}x = {x^2}
Có bao nhiêu số nguyên của \(m\) để phương trình \({\log _2}\left( {2x + m} \right) - 2{\log _2}x = {x^2} - 4x - 2m - 1\) có hai nghiệm thực phân biệt.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Xét hàm đặc trưng.
- Suy ra phương trình ẩn \(x\), cô lập \(m\), lập BBT và biện luận nghiệm.
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x > \frac{{ - m}}{2}\end{array} \right.\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\log _2}\left( {2x + m} \right) - 2{\log _2}x = {x^2} - 4x - 2m - 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2x + m} \right) - {\log _2}{x^2} = {x^2} - 2\left( {2x + m} \right) - 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2x + m} \right) + 1 + 2\left( {2x + m} \right) = {\log _2}{x^2} + {x^2}\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {2\left( {2x + m} \right)} \right] + 2\left( {2x + m} \right) = {\log _2}{x^2} + {x^2}\end{array}\)
Đặt \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\) với \(t > 0\) ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Mà ta lại có \(f\left( {2\left( {2x + m} \right)} \right) = f\left( {{x^2}} \right)\), do đó \(2\left( {2x + m} \right) = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4x = 2m\,\,\left( * \right)\).
Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^2} - 4x\) với \(x > 0\) ta có: \(g'\left( x \right) = 2x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).
BBT:
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm thực phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow - 4 < 2m < 0 \Leftrightarrow - 2 < m < 0\).
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = - 1\).
Vậy có 1 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
