Cho hypebol \(\left( H \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\); \(d:\,\,y = kx\left( {k \ne 0}

Câu hỏi số 403230:

Vận dụng

Cho hypebol \(\left( H \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\); \(d:\,\,y = kx\left( {k \ne 0} \right)\), \(d'\) đi qua \(O\) và vuông góc với \(d\). Giá trị của \(k\) để \(d\) và \(d'\) đều cắt \(\left( H \right)\) là:

A. \(\frac{2}{3} \le k \le \frac{3}{2}\) hoặc \( - \frac{3}{2} \le k \le - \frac{2}{3}\)

B. \( - \frac{3}{2} < k < - \frac{2}{3}\)

C. \(\frac{2}{3} < k < \frac{3}{2}\)

D. \(\frac{2}{3} < k < \frac{3}{2}\) hoặc \( - \frac{3}{2} < k < - \frac{2}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403230

Phương pháp giải

+) Phương trình \(d'\): \(y = - \frac{1}{k}x\)

+) Xét hệ phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( H \right);\) \(d'\) và \(\left( H \right)\).

Giải chi tiết

Phương trình \(d'\) đi qua \(O\) và vuông góc với \(d\) là: \(y = - \frac{1}{k}x\,\,\,\left( {k \ne 0} \right)\)

Tọa giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( H \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\y = kx\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{k^2}{x^2}}}{9} = 1\)\( \Leftrightarrow 9{x^2} - 4{k^2}{x^2} = 36\)\( \Leftrightarrow \left( {9 - 4{k^2}} \right){x^2} = 36\,\,\left( 1 \right)\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \frac{{36}}{{9 - 4{k^2}}} > 0 \Leftrightarrow 9 - 4{k^2} > 0\)\( \Leftrightarrow - \frac{3}{2} < k < \frac{3}{2}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Tọa giao điểm của \(\left( {d'} \right)\) và \(\left( H \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\y = - \frac{1}{k}x\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{{\left( { - \frac{1}{k}x} \right)}^2}}}{9} = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{{9{k^2}}} = 1 \Leftrightarrow {x^2}\left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{{9{k^2}}}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {9{k^2} - 4} \right) = 36{k^2}\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Phương trình \(\left( 3 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \frac{{36{k^2}}}{{9{k^2} - 4}} > 0\)\( \Leftrightarrow 9{k^2} - 4 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k > \frac{2}{3}\\k < - \frac{2}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( 4 \right)\)

Điều kiện để \(\left( d \right)\), \(\left( {d'} \right)\) đều cắt \(\left( H \right)\)là: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{3}{2} < k < \frac{3}{2}\\\left[ \begin{array}{l}k > \frac{2}{3}\\k < - \frac{2}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - \frac{3}{2} < k < \frac{3}{2}\\k > \frac{2}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - \frac{3}{2} < k < \frac{3}{2}\\k < - \frac{2}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{2}{3} < k < \frac{3}{2}\\ - \frac{3}{2} < k < - \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(\frac{2}{3} < k < \frac{3}{2}\) hoặc \( - \frac{3}{2} < k < - \frac{2}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.