Cho hypebol \(\left( H \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\); \(d:\,\,y = kx\left( {k \ne 0}

Câu hỏi số 403230:

Vận dụng

Cho hypebol \(\left( H \right):\,\,\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\); \(d:\,\,y = kx\left( {k \ne 0} \right)\), \(d'\) đi qua \(O\) và vuông góc với \(d\). Giá trị của \(k\) để \(d\) và \(d'\) đều cắt \(\left( H \right)\) là:

A. \(\frac{2}{3} \le k \le \frac{3}{2}\) hoặc \( - \frac{3}{2} \le k \le - \frac{2}{3}\)

B. \( - \frac{3}{2} < k < - \frac{2}{3}\)

C. \(\frac{2}{3} < k < \frac{3}{2}\)

D. \(\frac{2}{3} < k < \frac{3}{2}\) hoặc \( - \frac{3}{2} < k < - \frac{2}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

+) Phương trình \(d'\): \(y = - \frac{1}{k}x\)

+) Xét hệ phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( H \right);\) \(d'\) và \(\left( H \right)\).

Giải chi tiết

Phương trình \(d'\) đi qua \(O\) và vuông góc với \(d\) là: \(y = - \frac{1}{k}x\,\,\,\left( {k \ne 0} \right)\)

Tọa giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( H \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\y = kx\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{k^2}{x^2}}}{9} = 1\)\( \Leftrightarrow 9{x^2} - 4{k^2}{x^2} = 36\)\( \Leftrightarrow \left( {9 - 4{k^2}} \right){x^2} = 36\,\,\left( 1 \right)\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \frac{{36}}{{9 - 4{k^2}}} > 0 \Leftrightarrow 9 - 4{k^2} > 0\)\( \Leftrightarrow - \frac{3}{2} < k < \frac{3}{2}\,\,\,\left( 2 \right)\)

Tọa giao điểm của \(\left( {d'} \right)\) và \(\left( H \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\y = - \frac{1}{k}x\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{{\left( { - \frac{1}{k}x} \right)}^2}}}{9} = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{x^2}}}{{9{k^2}}} = 1 \Leftrightarrow {x^2}\left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{{9{k^2}}}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {9{k^2} - 4} \right) = 36{k^2}\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Phương trình \(\left( 3 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \frac{{36{k^2}}}{{9{k^2} - 4}} > 0\)\( \Leftrightarrow 9{k^2} - 4 > 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k > \frac{2}{3}\\k < - \frac{2}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( 4 \right)\)

Điều kiện để \(\left( d \right)\), \(\left( {d'} \right)\) đều cắt \(\left( H \right)\)là: \(\left\{ \begin{array}{l} - \frac{3}{2} < k < \frac{3}{2}\\\left[ \begin{array}{l}k > \frac{2}{3}\\k < - \frac{2}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - \frac{3}{2} < k < \frac{3}{2}\\k > \frac{2}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - \frac{3}{2} < k < \frac{3}{2}\\k < - \frac{2}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{2}{3} < k < \frac{3}{2}\\ - \frac{3}{2} < k < - \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

Vậy \(\frac{2}{3} < k < \frac{3}{2}\) hoặc \( - \frac{3}{2} < k < - \frac{2}{3}\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:403230

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.