Cho hypebol \(\left( H \right):xy = 1\) và điểm \(A\left( {\frac{5}{2};\,\,\frac{5}{2}} \right)\). Tìm điểm

Câu hỏi số 403231:

Vận dụng

Cho hypebol \(\left( H \right):xy = 1\) và điểm \(A\left( {\frac{5}{2};\,\,\frac{5}{2}} \right)\). Tìm điểm \(M\) thuộc \(\left( H \right)\) sao cho \(MA\) nhỏ nhất.

A. \(M\left( {2;\,\,\frac{1}{2}} \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{1}{2};\,\,2} \right)\)

B. \(M\left( { - 2;\,\, - \frac{1}{2}} \right)\) hoặc \(M\left( { - \frac{1}{2};\,\, - 2} \right)\)

C. \(M\left( {2;\,\,2} \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{1}{2};\,\,\frac{1}{2}} \right)\)

D. \(M\left( {2;\,\, - \frac{1}{2}} \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{1}{2}; - \,\,2} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:403231

Phương pháp giải

+) Giả sử \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right) \in \left( H \right)\).

Giải chi tiết

Giả sử \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right) \in \left( H \right) \Rightarrow {x_0}{y_0} = 1\)\( \Rightarrow {y_0} = \frac{1}{{{x_0}}}\)\( \Rightarrow M\left( {{x_0};\,\,\frac{1}{{{x_0}}}} \right)\)

Ta có: \(M\left( {{x_0};\,\,\frac{1}{{{x_0}}}} \right)\) và \(A\left( {\frac{5}{2};\,\,\frac{5}{2}} \right)\)

\(\begin{array}{l}M{A^2} = {\left( {{x_0} - \frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{{x_0}}} - \frac{5}{2}} \right)^2}\,\, = x_0^2 - 5{x_0} + \frac{{25}}{4} + \frac{1}{{x_0^2}} - \frac{5}{{{x_0}}} + \frac{{25}}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x_0^2 + \frac{1}{{x_0^2}}} \right) - \left( {5{x_0} + \frac{5}{{{x_0}}}} \right) + \frac{{25}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x_0^2 + 2 \cdot {x_0} \cdot \frac{1}{{{x_0}}} + \frac{1}{{x_0^2}}} \right) - 5 \cdot \left( {{x_0} + \frac{1}{{{x_0}}}} \right) - 2 + \frac{{25}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{x_0} + \frac{1}{{{x_0}}}} \right)^2} - 5 \cdot \left( {{x_0} + \frac{1}{{{x_0}}}} \right) + \frac{{21}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{x_0} + \frac{1}{{{x_0}}}} \right)^2} - 2 \cdot \left( {{x_0} + \frac{1}{{{x_0}}}} \right) \cdot \frac{5}{2} + \frac{{25}}{4} + \frac{{17}}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{x_0} + \frac{1}{{{x_0}}} - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{17}}{4}.\end{array}\)

\( \Rightarrow M{A^2}\, = {\left( {{x_0} + \frac{1}{{{x_0}}} - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{17}}{4} \ge \frac{{17}}{4}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow {x_0} + \frac{1}{{{x_0}}} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow 2x_0^2 + 2 - 5{x_0} = 0\)\( \Leftrightarrow 2x_0^2 - 5{x_0} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

+) Với \({x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = \frac{1}{2} \Rightarrow M\left( {2;\,\,\frac{1}{2}} \right)\)

+) Với \({x_0} = \frac{1}{2} \Rightarrow {y_0} = 2 \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};\,\,2} \right)\)

Vậy \(M\left( {2;\,\,\frac{1}{2}} \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{1}{2};\,\,2} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.