Cho hypebol \(\left( H \right):xy = 1\) và điểm \(A\left( {\frac{5}{2};\,\,\frac{5}{2}} \right)\). Tìm điểm

Câu hỏi số 403231:

Vận dụng

Cho hypebol \(\left( H \right):xy = 1\) và điểm \(A\left( {\frac{5}{2};\,\,\frac{5}{2}} \right)\). Tìm điểm \(M\) thuộc \(\left( H \right)\) sao cho \(MA\) nhỏ nhất.

A. \(M\left( {2;\,\,\frac{1}{2}} \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{1}{2};\,\,2} \right)\)

B. \(M\left( { - 2;\,\, - \frac{1}{2}} \right)\) hoặc \(M\left( { - \frac{1}{2};\,\, - 2} \right)\)

C. \(M\left( {2;\,\,2} \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{1}{2};\,\,\frac{1}{2}} \right)\)

D. \(M\left( {2;\,\, - \frac{1}{2}} \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{1}{2}; - \,\,2} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

+) Giả sử \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right) \in \left( H \right)\).

Giải chi tiết

Giả sử \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right) \in \left( H \right) \Rightarrow {x_0}{y_0} = 1\)\( \Rightarrow {y_0} = \frac{1}{{{x_0}}}\)\( \Rightarrow M\left( {{x_0};\,\,\frac{1}{{{x_0}}}} \right)\)

Ta có: \(M\left( {{x_0};\,\,\frac{1}{{{x_0}}}} \right)\) và \(A\left( {\frac{5}{2};\,\,\frac{5}{2}} \right)\)

\(\begin{array}{l}M{A^2} = {\left( {{x_0} - \frac{5}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{{{x_0}}} - \frac{5}{2}} \right)^2}\,\, = x_0^2 - 5{x_0} + \frac{{25}}{4} + \frac{1}{{x_0^2}} - \frac{5}{{{x_0}}} + \frac{{25}}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x_0^2 + \frac{1}{{x_0^2}}} \right) - \left( {5{x_0} + \frac{5}{{{x_0}}}} \right) + \frac{{25}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {x_0^2 + 2 \cdot {x_0} \cdot \frac{1}{{{x_0}}} + \frac{1}{{x_0^2}}} \right) - 5 \cdot \left( {{x_0} + \frac{1}{{{x_0}}}} \right) - 2 + \frac{{25}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{x_0} + \frac{1}{{{x_0}}}} \right)^2} - 5 \cdot \left( {{x_0} + \frac{1}{{{x_0}}}} \right) + \frac{{21}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{x_0} + \frac{1}{{{x_0}}}} \right)^2} - 2 \cdot \left( {{x_0} + \frac{1}{{{x_0}}}} \right) \cdot \frac{5}{2} + \frac{{25}}{4} + \frac{{17}}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{x_0} + \frac{1}{{{x_0}}} - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{17}}{4}.\end{array}\)

\( \Rightarrow M{A^2}\, = {\left( {{x_0} + \frac{1}{{{x_0}}} - \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{17}}{4} \ge \frac{{17}}{4}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow {x_0} + \frac{1}{{{x_0}}} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow 2x_0^2 + 2 - 5{x_0} = 0\)\( \Leftrightarrow 2x_0^2 - 5{x_0} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

+) Với \({x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = \frac{1}{2} \Rightarrow M\left( {2;\,\,\frac{1}{2}} \right)\)

+) Với \({x_0} = \frac{1}{2} \Rightarrow {y_0} = 2 \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};\,\,2} \right)\)

Vậy \(M\left( {2;\,\,\frac{1}{2}} \right)\) hoặc \(M\left( {\frac{1}{2};\,\,2} \right)\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:403231

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.