Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\,\,\,\left( {AB < AC} \right).\) Kẻ

Câu hỏi số 404492:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\,\,\,\left( {AB < AC} \right).\) Kẻ đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right)\) của tam giác \(ABC\) và kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right).\)

a) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DH.\) Chứng minh \(OM\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\)

b) Gọi \(S,T\) là các giao điểm của đường tròn \(\left( O \right)\) với đường tròn tâm \(A,\) bán kính \(AH;\,\,F\) là giao điểm của \(ST\) và \(BC.\) Từ \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(DH\) tại \(E.\) Chứng minh \(FB.FC = F{H^2}\)và 3 điểm \(F,E,A\) thẳng hàng.

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCM\) tiếp xúc với đường tròn tâm \(A\) bán kính \(AH.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:404492

Phương pháp giải

b) Gọi \(E'\) là giao điểm của \(FA\) với \(\left( O \right),\) chứng minh \(E \equiv E'.\)

c) Gọi \(I\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(E.\) Chứng minh \(FI\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Giải chi tiết

a) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DH.\) Chứng minh \(OM\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\)

Ta có \(OM\,{\rm{//}}\,AH\)(tính chất đường trung bình) mà \(AH \bot BC \Rightarrow OM \bot BC\)

\( \Rightarrow OM\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(BC.\)

b) Gọi \(S,T\) là các giao điểm của đường tròn \(\left( O \right)\) với đường tròn tâm \(A,\) bán kính \(AH;\,\,F\) là giao điểm của \(ST\) và \(BC.\) Từ \(A\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(DH\) tại \(E.\) Chứng minh \(FB.FC = F{H^2}\)và 3 điểm \(F,E,A\) thẳng hàng.

\(\begin{array}{l}\Delta FTB \sim \Delta FCS\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{FT}}{{FC}} = \frac{{FB}}{{FS}} \Rightarrow FB.FC = FT.FS\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

\(FH\) là tiếp tuyến của đường tròn tâm A bán kính \(AH \Rightarrow FT.FS = F{H^2}(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(FB.FC = F{H^2}\)

Gọi \(E'\) là giao điểm của FA với \(\left( O \right).\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow FE'.FA = F{H^2} \Rightarrow \Delta FE'H \sim \Delta FHA\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\\ \Rightarrow \widehat {FE'H} = \widehat {FHA} = {90^0} \Rightarrow HE' \bot AF\end{array}\)

Mà \(DE' \bot AF \Rightarrow E',H,D\) là ba điểm thẳng hàng hay \(E \equiv E'\)\( \Rightarrow F,E,A\) thẳng hàng.

c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCM\) tiếp xúc với đường tròn tâm \(A\) bán kính \(AH.\)

Gọi \(I\)là điểm đối xứng với H qua E. Ta có \(AF\)là đường trung trực của đoạn thẳng HI nên \(FH = FI\) và \(AH = AI\), nghĩa là I thuộc đường tròn tâm A bán kính AH

\(\Delta AFI = \Delta AFH(c.c.c) \Rightarrow \widehat {AIF} = \widehat {AHF} = {90^0}\)

\( \Rightarrow FI\) tiếp xúc với đường tròn tâm \(A\) bán kính AH tại \(I\) (3)

Có \(\Delta HBE \sim \Delta HDC\,\,\left( {g - g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{HB}}{{HD}} = \frac{{HE}}{{HC}}\\ \Rightarrow HB.HC = HD.HE = 2HM.\frac{1}{2}HI = HM.HI\end{array}\)

\(\Delta HBI \sim \Delta HMC\,\,\,\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \widehat {HBI} = \widehat {HMC}\) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(IBMC\)nội tiếp (dhnb).

Lại có: \(F{I^2} = FB.FC\)(cùng bằng \(F{H^2}) \Rightarrow FI\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( {IBMC} \right)\) tại I.

Kết hợp với (3) suy ra điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link