Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC. Kẻ đường thẳng qua O cắt 2 cạnh CA, CB của tam
Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC. Kẻ đường thẳng qua O cắt 2 cạnh CA, CB của tam giác theo thứ tự M và N, đường thẳng MN ở vị trí nào thì tam giác CMN có diện tích nhỏ nhất?
Quảng cáo
Áp dụng bất đẳng thức Co-si.
Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\), S là diện tích \(\Delta CMN\).
Ta có: \(S = {S_{OCM}} + {S_{OCN}} = \dfrac{1}{2}\left( {CM + CN} \right).r\).
Do đó: \(\dfrac{S}{r} = \dfrac{1}{2}\left( {CM + CN} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\).
Theo bất đẳng thức Co-si ta có: \(\dfrac{1}{2}\left( {CM + CN} \right) \ge \sqrt {CM.CN} \,\,\left( 2 \right)\).
Mặt khác \(\left( {CM + CN} \right) \ge 2S\,\,\,\left( 3 \right)\).
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\dfrac{S}{r} = \dfrac{1}{2}\left( {CM + CN} \right) \ge \sqrt {CM.CN} \ge \sqrt {2S} \).
Vậy \(S \ge \sqrt {2S} .r\).
\(\begin{array}{l}{S^2} \ge 2S.{r^2}\\S \ge 2{r^2}\end{array}\)
Vậy S nhỏ nhất là bằng \(2{r^2}\) khi \(CM = CN\).
Tam giác CMN cân tại đỉnh C, có CO là phân giác nên \(CO \bot MN\).
Vậy nên \(CO \bot MN\) tại O thì tam giác CMN có diện tích nhỏ nhất.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
