Cho tam giác nhọn ABC có \(\angle BAC = {60^0}\), \(BC = 2\sqrt 3 \,\,cm\). Trong tam giác này có 13 điểm
Cho tam giác nhọn ABC có \(\angle BAC = {60^0}\), \(BC = 2\sqrt 3 \,\,cm\). Trong tam giác này có 13 điểm bất kì. Chứng minh rằng trong 13 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1cm?
Quảng cáo
Áp dụng địch lý Ddirichle.
Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác BC, CA, AB.
Do tam giác ABC nhọn nên O nằm trong tam giác ABC
Vì \(\angle BAC = {60^0}\) nên có \(\angle MOC = {60^0}\).
\( \Rightarrow OA = OB = OC = \dfrac{{MC}}{{\sin {{60}^0}}} = 2\).
Vì O nằm trong tam giác ABC, \(OM \bot BC,\,\,ON \bot AC,\,\,OP \bot AB\).
Suy ra tam giác ABC được chia thành 3 tứ giác ANOP, BMOP, CNOM nội tiếp các đường tròn đường kính.
Theo nguyên lý Đirichlê tồn tại ít nhất 1 trong 3 tứ giác này chứa ít nhất 5 điểm trong 13 điểm đã cho.
Giả sử đó là tứ giác ANOP.
Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểmNA, AP, PO, ON là I là trung điểm của OA.
Suy ra IA = IP = IO = IN = 1.
Khi đó tứ giác ANOP được chưa làm 4 tứ giác AEIF, FIGP, IGOH, IHNE nội tiếp các đường tròn có đường kính 1.
Theo nguyên lý Đirichle, tồn tại ít nhất một trong bốn tứ giác này tồn tại hai điểm trong 5 điểm đã cho, giả sử đó là tứ giác AEIF chứa 2 điểm X, Y trong 13 số điểm đã cho .
Vì X, Y không nằm trong tứ giác AEIF, nên X, Y nằm trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác này, do đó XY không lớn hơn đường kính đường tròn này, nghĩa là khoảng cách XY không vượt quá 1cm.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
