Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Trên cùng mặt phẳng bờ \(AB,\) vẽ các
Cho đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AB.\) Trên cùng mặt phẳng bờ \(AB,\) vẽ các tiếp tuyến \(Ax,By\) của \(\left( O \right).\) Trên \(\left( O \right),\) lấy điểm \(C\,\,\,\left( {CA < CB} \right)\) và trên đoạn thẳng \(OA\) lấy điểm \(D\,\,\,\left( {D \ne O,\,\,A} \right).\)Đường thẳng vuông góc với CD tại \(C\) cắt \(Ax,By\) lần lượt tại \(E,F.\) \(AC\) cắt \(DE\) tại \(G,\,\,\,BC\) cắt \(DF\) tại \(H,\,\,OC\)cắt \(GH\) tại \(I.\)
1. Chứng minh hai tam giác \(AGE,\,\,\,FHC\) đồng dạng và \(I\) là trung điểm của \(GH\).
2. Gọi \(J,K\) lần lượt là trung điểm của \(DE,DF.\) Chứng minh \(I,J,K\) thẳng hàng.
3. Gọi \(M\) là giao điểm của \(JO\) và \(DK.\) Chứng minh tam giác \(JOK\) vuông và ba đường thẳng \(DE,IM,KO\) đồng quy.
Quảng cáo
1) Chứng minh \(GH\,{\rm{//}}\,AB.\)
2) Chứng minh \(JI,JK\) cùng vuông góc với \(CD.\)
3) Chứng minh \(NM,IM\) cùng vuông góc với \(JK.\)
1. Chứng minh hai tam giác \(AGE,\,\,\,FHC\) đồng dạng và \(I\) là trung điểm của \(GH\).
Ta có: \(\angle CAE = \angle ABC\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC)\)
\( \Rightarrow CDBF\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle ABC = \angle CFD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CD)\) \( \Rightarrow \angle CAE = \angle CFD \,\,\, \left( 1 \right)\)
\( \Rightarrow \) \(ADCE\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle AED = \angle ACD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AD)\)
\( \Rightarrow \angle ACD = \angle BCF\) (cùng phụ \(\angle BCD\)) \( \Rightarrow \angle AED = \angle BCF\,\,\, \left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta AGE \sim \Delta FHC\,\,\left( {g - g} \right).\)
Ta có : \(\angle CGD = \angle AGE = \angle CHF\) \( \Rightarrow CGDH\) là tứ giác nội tiếp
\( \Rightarrow \angle CGH = \angle CDH\)
Mà \(\angle CDH = \angle CBF\,\,\)(\(CDBF\) là tứ giác nội tiếp)
\( \Rightarrow \angle CGH = \angle CBF.\)
Mà \(\angle CBF = \angle CAB \Rightarrow \angle CGH = \angle CAB\)\( \Rightarrow GH\,{\rm{//}}\,AB\)
Suy ra \(\frac{{GI}}{{AO}} = \frac{{IH}}{{OB}}.\)
Vì \(AO = OB\) nên \(GI = IH \Rightarrow I\) là trung điểm \(GH.\)
2. Gọi \(J,K\) lần lượt là trung điểm của \(DE,DF.\) Chứng minh \(I,J,K\) thẳng hàng.
Vì \(I,J\) lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác \(CGDH,ADCE\) nên \(IJ \bot CD\)
Vì \(J,K\) lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp hai tứ giác \(ADCE,BDCF\) nên \(JK \bot CD\)
Suy ra \(I,J,K\) thẳng hàng.
3. Gọi \(M\) là giao điểm của \(JO\) và \(DK.\) Chứng minh tam giác \(JOK\) vuông và ba đường thẳng \(DE,IM,KO\) đồng quy.
Ta có \(J\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AOCE \Rightarrow OJ \bot AC\)\( \Rightarrow OJ//BC\,\,\,\left( {BC \bot AC} \right)\)
Mặt khác \(JK//EF\) (tính chất đường trung bình)
\( \Rightarrow \angle MJK = \angle BCF\)
Mà \(\angle BCF = \angle BDF\) (\(BDCF\) là tứ giác nội tiếp).
\( \Rightarrow \angle MJK = \angle BDF = \angle ODK\) \( \Rightarrow JDOK\) là tứ giác nội tiếp.
\( \Rightarrow \angle JOK = \angle JDK\)
Mà \(\angle JDK = {90^0}\) \((CGDH\) là tứ giác nội tiếp và \(\angle GCH = {90^0})\)
\( \Rightarrow \angle JOK = {90^0} \Rightarrow \Delta JOK\) vuông tại O.
Gọi \(N\) là giao điểm của \(ED\) và \(OK\)
Ta có: \(M\) là trực tâm tam giác \(JNK\) nên \(NM \bot JK \,\,\, (3)\)
\(\angle MOI = \angle JOC = \angle OCB = \angle OBC = \angle CFD\) (vì \(OJ//BC)\)
Mà \(\angle CFD = \angle IKD\,\,\,\left( {JK//EF} \right)\)
\( \Rightarrow \angle MOI = \angle IKM \Rightarrow IMOK\) là tứ giác nội tiếp
Suy ra \(IM \bot JK \,\,\,(4)\)
Từ (3) và (4) suy ra ba đường thẳng \(DE,IM,KO\) đồng quy.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
