Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{{z + 4}}{{ - 5}}\) và \(d':\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{y - 4}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 4}}{{ - 1}}.\)

Câu 406577: Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y - 3}}{3} = \dfrac{{z + 4}}{{ - 5}}\) và \(d':\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{y - 4}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 4}}{{ - 1}}.\)

A. \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 1}}\)

B. \(\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\)

C. \(\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y - 2}}{3} = \dfrac{{z - 3}}{4}\)

D. \(\dfrac{{x - 2}}{2} = \dfrac{{y + 2}}{2} = \dfrac{{z - 3}}{2}\)

Câu hỏi : 406577

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm.

- Gọi \(M = \Delta \cap d,\,\,\,N = \Delta \cap d'\), tham số hóa tọa độ điểm M và N.

- Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\end{array} \right.\), với \(\overrightarrow {{u_d}} ,\,\,\overrightarrow {{u_{d'}}} \) lần lượt là 1 VTCP của đường thẳng d và d’.

- Tìm tọa độ điểm M, N, từ đó viết phương trình đường thẳng đi qua M, N.

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm.

Gọi \(M\left( {2a + 2;3a + 3; - 5a - 4} \right) = \Delta \cap d,\) \(N\left( {3b - 1; - 2b + 4; - b + 4} \right) = \Delta \cap d'\).

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {3b - 2a - 3; - 2b - 3a + 1; - b + 5a + 8} \right)\).

Đường thẳng d có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;3; - 5} \right)\), đường thẳng d’ có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {3; - 2; - 1} \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot d\\MN \bot d'\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( {3b - 2a - 3} \right) + 3\left( { - 2b - 3a + 1} \right) - 5\left( { - b + 5a + 8} \right) = 0\\3\left( {3b - 2a - 3} \right) - 2\left( { - 2b - 3a + 1} \right) - 1\left( { - b + 5a + 8} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5b - 38a - 43 = 0\\14b - 5a - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}M\left( {0;0;1} \right)\\N\left( {2;2;3} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {2;2;2} \right)\parallel \left( {1;1;1} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta \) là: \(\Delta :\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.