Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x2 + y2 + z2 = xyz. Chứng minh : + + ≤

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 40663:

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn x² + y²+ z² = xyz.

Chứng minh : $\frac{x}{x^{2}+yz}$ + $\frac{y}{y^{2}+xz}$ + $\frac{z}{z^{2}+xy}$ ≤ $\frac{1}{2}$

A. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:40663

Giải chi tiết

Từ giả thiết ta có : $\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}$ = 1

Mặt khác: xy + yz + zx ≤ x² + y²+ z²

Mà theo giả thiết x² + y²+ z² = xyz nên xy + yz + zx ≤ xyz ; $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ ≤1

Lại có : $\frac{x}{x^{2}+yz}=\frac{1}{x+\frac{yz}{x}}$ ≤ $\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{x}{yz})$ (1)

Tương tự : $\frac{y}{y^{2}+xz}$ ≤ $\frac{1}{4}$ ( $\frac{1}{y}+\frac{y}{xz}$ ) (2)

$\frac{z}{z^{2}+xy}$ ≤ $\frac{1}{4}$ ( $\frac{1}{z}+\frac{z}{xy}$ ) (3)

Cộng (1), (2), (3) ta được:

$\frac{x}{x^{2}+yz}$ + $\frac{y}{y^{2}+xz}$ + $\frac{z}{z^{2}+xy}$

≤ $\frac{1}{4}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x}{yz}+\frac{y}{xz}+\frac{z}{xy}).$

≤ $\frac{1}{4}$ ( 1 + 1) = $\frac{1}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+z^{2}=xyz\\ x=y=z \\ x^{2}=yz,y^{2}=xz,z^{2}=xy \end{matrix}\right.$

⇔ x = y = z = 3.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.