Giá trị nhỏ nhất của \(A = \sqrt {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10} \) là:

Câu 407150: Giá trị nhỏ nhất của \(A = \sqrt {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10} \) là:

A. \(10\)

B. \(9\)

C. \(\frac{{ - \sqrt {31} }}{4}\)

D. \(3\)

Câu hỏi : 407150

Phương pháp giải:

Biến đổi: \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\)

Đặt \({x^2} + 3x = y\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ẩn \(y.\)

Đáp án : D
(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Điều kiện: \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10 \ge 0\)

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {\left[ {x\left( {x + 3} \right)} \right].\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \right] + 10} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) + 10} \end{array}\)

Đặt \({x^2} + 3x = y\)

Khi đó, \(A\) trở thành:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {y\left( {y + 2} \right) + 10} = \sqrt {{y^2} + 2y + 10} \\\,\,\,\, = \sqrt {{y^2} + 2y + 1 + 9} = \sqrt {{{\left( {y + 1} \right)}^2} + 9} \end{array}\)

Vì \({\left( {y + 1} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall y \Rightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} + 9 \ge 9\,\,\,\forall y\)

\( \Rightarrow A = \sqrt {{{\left( {y + 1} \right)}^2} + 9} \ge 3\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow y = - 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 3x = - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2.\frac{3}{2}x + \frac{9}{4} - \frac{5}{4} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{5}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \frac{3}{2} = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\\x + \frac{3}{2} = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Ta thấy \(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}\) thỏa mãn điều kiện xác định.

Vậy GTNN của \(A\) là \(3\) khi \(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}.\)

Chọn D.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây