Tìm các số nguyên không âm \(a,b,n\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{n^2} = a + b\\{n^3} + 2 = {a^2} +

Câu hỏi số 407322:

Vận dụng cao

Tìm các số nguyên không âm \(a,b,n\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{n^2} = a + b\\{n^3} + 2 = {a^2} + {b^2}\end{array} \right.\).

A. \(\left( {n;a;b} \right) \in \left\{ {\left( {2;1;3} \right);\left( {2;3;1} \right)} \right\}\)

B. \(\left( {n;a;b} \right) \in \left\{ {\left( {2;2;3} \right);\left( {2;3;2} \right)} \right\}\)

C. \(\left( {n;a;b} \right) \in \left\{ {\left( {2;1;2} \right);\left( {2;2;1} \right)} \right\}\)

D. \(\left( {n;a;b} \right) \in \left\{ {\left( {1;2;3} \right);\left( {1;3;2} \right)} \right\}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:407322

Phương pháp giải

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá.

Giải chi tiết

Với mọi \(a,\,\,b \in {\mathbb{Z}^ + }\) ta có: \({\left( {a + b} \right)^2} \le 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\) \( \Leftrightarrow {n^4} \le 2\left( {{n^3} + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow {n^4} - 2{n^3} - 4 \le 0 \Leftrightarrow {n^3}\left( {n - 2} \right) - 4 \le 0\,\,\,\left( * \right)\)

+) Nếu \(n \ge 3\) thì \({n^3}\left( {n - 2} \right) - 4 \ge {n^3} - 4 > 0\) (mâu thuẫn với (*))

\( \Rightarrow n \in \left\{ {0;\,\,1;\,\,2} \right\}\)

+) Với \(n = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\{a^2} + {b^2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow \) không tồn tại \(a,\,b \in {\mathbb{Z}^ + }\) thỏa mãn hệ phương trình.

+) Với \(n = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 1\\{a^2} + {b^2} = 3\end{array} \right. \Rightarrow \) không tồn tại \(a,\,b \in {\mathbb{Z}^ + }\) thỏa mãn hệ phương trình.

+) Với \(n = 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\{a^2} + {b^2} = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\{\left( {a + b} \right)^2} - 2ab = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 4\\ab = 3\end{array} \right.\)

Khi đó ta có hai số \(a,\,\,b\) là nghiệm của phương trình: \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {a;\,\,b} \right) \in \left\{ {\left( {1;\,\,3} \right);\,\,\left( {3;\,\,1} \right)} \right\}.\)

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: \(\left( {n;a;b} \right) \in \left\{ {\left( {2;1;3} \right);\left( {2;3;1} \right)} \right\}\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link