Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB,\) điểm \(M\) nằm trên đoạn \(OB\,\,\,\left(
Cho đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) đường kính \(AB,\) điểm \(M\) nằm trên đoạn \(OB\,\,\,\left( {M \ne O,\,\,B} \right).\) Từ \(M\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(AB\) cắt \(\left( O \right)\) tại hai điểm \(C\) và \(E.\) Gọi \(F\) là hình chiếu của \(C\) trên \(AE\) và \(I\) là hình chiếu của \(M\) trên \(CF.\) Đường thẳng \(AI\) cắt \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(H.\)
a) Chứng minh tứ giác \(CIMH\) nội tiếp
b) Tiếp tuyến tại \(C\) của \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng \(AB\) tại \(D.\) Gọi \(\left( {{O_1}} \right)\) là đường tròn ngoại tiếp \(\Delta CHD\) (điểm \({O_1}\) là tâm đường tròn). Chứng minh đường thẳng \(BD\) là tiếp tuyến của \(\left( {{O_1}} \right).\)
c) Gọi \({O_2}\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta HMD.\) Biết \(OM = \frac{{R\sqrt 2 }}{2},\) tính diện tích \(\Delta O{O_1}{O_2}\) theo \(R\).
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào các dấu hiệu nhận biết.
b) Chứng minh tiếp tuyến dựa vào định nghĩa.
c) Chứng minh \(\Delta {O_2}O{O_1}\) là tam giác vuông cân rồi tính diện tích tam giác.
a) Chứng minh tứ giác \(CIMH\) nội tiếp
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}IM \bot CF = \left\{ I \right\}\\AE \bot CF = \left\{ F \right\}\end{array} \right. \Rightarrow IM//AE\)
\( \Rightarrow \angle HIM = \angle HAE\) (hai góc đồng vị).
Lại có: \(\angle HAE = \angle HCE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AE\)).
Hay \(\angle HAE = \angle HCM\)
\( \Rightarrow \angle HIM = \angle HCM\,\,\left( { = \angle HAE} \right)\)
Xét tứ giác \(CIMH\) ta có: \(\angle HIM = \angle HCM\,\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow CIMH\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb).
b) Tiếp tuyến tại \(C\) của \(\left( O \right)\) cắt đường thẳng \(AB\) tại \(D.\) Gọi \(\left( {{O_1}} \right)\) là đường tròn ngoại tiếp \(\Delta CHD\) (điểm \({O_1}\) là tâm đường tròn). Chứng minh đường thẳng \(BD\) là tiếp tuyến của \(\left( {{O_1}} \right).\)
Ta có \(\Delta OCE\) là tam giác giác cân tại \(O\) có đường cao \(OM \Rightarrow OM\) cũng là đường phân giác của \(\Delta OCE.\)
\( \Rightarrow \angle COM = \angle EOM\) hay \(\angle COD = \angle MOE\)
Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\angle COD + \angle CDO = {90^0}\\\angle MOE + \angle OEM = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \angle OEM = \angle CDO\) hay \(\angle OEC = \angle CDO\)
Xét tứ giác \(OCDE\) ta có: \(\angle OEC = \angle CDO\,\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow OCDE\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
\( \Rightarrow \angle OCD + \angle OED = {180^0}\) \( \Rightarrow \angle OED = {90^0}\) hay \(OE \bot ED\)
\( \Rightarrow ED\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right).\)
\( \Rightarrow \angle HED = \angle HCE\) (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp cùng chắn cung \(HE\)) (1)
Lại có: \(CIMH\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \angle CHM = {90^0}.\)
\( \Rightarrow \angle HCM + \angle CMH = {90^0}\)
Mà \(\angle HMD + \angle HMC = {90^0}\) \( \Rightarrow \angle CHM = \angle HMD \) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\angle HED = \angle HMD\)
\( \Rightarrow EMHD\) là tứ giác nội tiếp.
Lại có: \(\angle HDM = \angle HEM\)
Mà \(\angle HEM = \angle HCM\) \( \Rightarrow \angle HDM = \angle HCD\)
\( \Rightarrow BD\) là tiếp tuyến của \(\left( {{O_1}} \right)\).
c) Gọi \({O_2}\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta HMD.\) Biết \(OM = \frac{{R\sqrt 2 }}{2},\) tính diện tích \(\Delta O{O_1}{O_2}\) theo \(R\).
Sử dụng tính chất đường nối tâm vuông góc với dây chung ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}O{O_2} \bot HE\\{O_2}{O_1} \bot HD\end{array} \right.\)
Lại có: \(ED \bot HD\)
\( \Rightarrow O{O_2} \bot {O_2}{O_1}\)
Ta có: \(\angle COM = {45^0}\) \( \Rightarrow \angle CAE = {45^0}\)
\( \Rightarrow \angle {O_2}O{O_1} = {45^0}.\)
\( \Rightarrow \Delta {O_2}O{O_1}\) vuông cân tại \({O_2}\) (định nghĩa).
\( \Rightarrow OCDE\) là hình vuông cạnh \(R\) và \({O_2}\) là trung điểm của \(DE\)
\( \Rightarrow {O_2}{O^2} = \frac{{5{R^2}}}{4}\)
Vậy diện tích tam giác \(O{O_1}{O_2}\) là \(\frac{{5{R^2}}}{8}\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
