Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) là trung điểm của AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt dáy bằng \({60^0}\). Khoảng cách giữa BB’ và A’C là:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Chứng minh \(d\left( {BB';A'C} \right) = d\left( {B;\left( {AA'C} \right)} \right)\). Đổi sang tính khoảng cách từ H đến (AA’C).
- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AM. Trong (A’HN) kẻ \(HK \bot A'N\,\,\left( {K \in A'N} \right)\), chứng minh \(d\left( {H;\left( {AA'C} \right)} \right) = HK\).
- Xác định góc giữa A’C và mặt đáy là góc giữa A’C và hình chiếu của A’C lên (ABC).
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính A’H.
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(HK = \dfrac{{A'H.HN}}{{\sqrt {A'{H^2} + H{N^2}} }}\) tính HK.
Gọi H là trung điểm của AB \( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\).
Ta có AA’ // BB’ nên \(BB'\parallel \left( {AA'C} \right) \supset A'C\).
\( \Rightarrow d\left( {BB';A'C} \right) = d\left( {BB';\left( {AA'C} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {AA'C} \right)} \right)\).
Ta có: \(BH \cap \left( {AA'C} \right) = A\) \( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B;\left( {AA'C} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {AA'C} \right)} \right)}} = \dfrac{{BA}}{{HA}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {B;\left( {AA'C} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {AA'C} \right)} \right)\).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AM.
Do tam giác ABC đều nên \(BM \bot AC \Rightarrow HN \bot AC\) (do HN là đường trung bình của tam giác ABM nên HN // BM).
Trong (A’HN) kẻ \(HK \bot A'N\,\,\left( {K \in A'N} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HN\\AC \bot A'H\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {A'HN} \right) \Rightarrow AC \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot A'N\\HK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {AA'C} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {AA'C} \right)} \right) = HK \Rightarrow d\left( {BB';A'C} \right) = 2HK\).
Ta có \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\) nên HC là hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABC).
\( \Rightarrow \angle \left( {A'C;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'C;HC} \right) = \angle A'CH = {60^0}\).
Tam giác ABC đêu cạnh a nên \(CH = BM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow A'H = CH.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 = \dfrac{{3a}}{2}\) và \(HN = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông A’HN có: \(HK = \dfrac{{A'H.HN}}{{\sqrt {A'{H^2} + H{N^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {\dfrac{{9{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} }} = \dfrac{{3\sqrt {13} }}{{26}}a\).
Vậy \(d\left( {BB';A'C} \right) = 2HK = \dfrac{{3\sqrt {13} a}}{{13}}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
