Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) là trung điểm của AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt dáy bằng \({60^0}\). Khoảng cách giữa BB’ và A’C là:
Câu 409658: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) là trung điểm của AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt dáy bằng \({60^0}\). Khoảng cách giữa BB’ và A’C là:
A. \(\dfrac{{a\sqrt {13} }}{{39}}\)
B. \(\dfrac{{3a\sqrt {13} }}{{13}}\)
C. \(\dfrac{{2a\sqrt {13} }}{{13}}\)
D. \(\dfrac{{a\sqrt {13} }}{{13}}\)
Quảng cáo
- Chứng minh \(d\left( {BB';A'C} \right) = d\left( {B;\left( {AA'C} \right)} \right)\). Đổi sang tính khoảng cách từ H đến (AA’C).
- Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AM. Trong (A’HN) kẻ \(HK \bot A'N\,\,\left( {K \in A'N} \right)\), chứng minh \(d\left( {H;\left( {AA'C} \right)} \right) = HK\).
- Xác định góc giữa A’C và mặt đáy là góc giữa A’C và hình chiếu của A’C lên (ABC).
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính A’H.
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(HK = \dfrac{{A'H.HN}}{{\sqrt {A'{H^2} + H{N^2}} }}\) tính HK.
-
Đáp án : B(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi H là trung điểm của AB \( \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\).
Ta có AA’ // BB’ nên \(BB'\parallel \left( {AA'C} \right) \supset A'C\).
\( \Rightarrow d\left( {BB';A'C} \right) = d\left( {BB';\left( {AA'C} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {AA'C} \right)} \right)\).
Ta có: \(BH \cap \left( {AA'C} \right) = A\) \( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B;\left( {AA'C} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {AA'C} \right)} \right)}} = \dfrac{{BA}}{{HA}} = 2\) \( \Rightarrow d\left( {B;\left( {AA'C} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {AA'C} \right)} \right)\).
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AM.
Do tam giác ABC đều nên \(BM \bot AC \Rightarrow HN \bot AC\) (do HN là đường trung bình của tam giác ABM nên HN // BM).
Trong (A’HN) kẻ \(HK \bot A'N\,\,\left( {K \in A'N} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HN\\AC \bot A'H\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {A'HN} \right) \Rightarrow AC \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot A'N\\HK \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {AA'C} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow d\left( {H;\left( {AA'C} \right)} \right) = HK \Rightarrow d\left( {BB';A'C} \right) = 2HK\).
Ta có \(A'H \bot \left( {ABC} \right)\) nên HC là hình chiếu vuông góc của A’C lên (ABC).
\( \Rightarrow \angle \left( {A'C;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'C;HC} \right) = \angle A'CH = {60^0}\).
Tam giác ABC đêu cạnh a nên \(CH = BM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow A'H = CH.\tan {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\sqrt 3 = \dfrac{{3a}}{2}\) và \(HN = \dfrac{1}{2}BM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông A’HN có: \(HK = \dfrac{{A'H.HN}}{{\sqrt {A'{H^2} + H{N^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {\dfrac{{9{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} }} = \dfrac{{3\sqrt {13} }}{{26}}a\).
Vậy \(d\left( {BB';A'C} \right) = 2HK = \dfrac{{3\sqrt {13} a}}{{13}}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
