Cho các số thực dương x, y thỏa mãn \(\sqrt {\log x} + \sqrt {\log y} + \log \sqrt x + \log \sqrt y =

Câu hỏi số 409661:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương x, y thỏa mãn \(\sqrt {\log x} + \sqrt {\log y} + \log \sqrt x + \log \sqrt y = 100\) và \(\sqrt {\log x} \), \(\sqrt {\log y} \), \(\log \sqrt x \), \(\log \sqrt y \) là các số nguyên dương. Khi đó kết quả xy bằng:

A. \({10^{200}}\)

B. \({10^{100}}\)

C. \({10^{164}}\)

D. \({10^{144}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:409661

Phương pháp giải

- Đặt \(u = \sqrt {\log x} ,\,\,v = \sqrt {\log y} \), biểu diễn \(\log \sqrt x \) và \(\log \sqrt y \) theo \(u,\,\,v\).

- Tính \(xy\) theo \(u,\,\,v\).

- Thay vào điều kiện bài toán, biến đổi biểu thức về dạng \({A^2} + {B^2} = 202\).

- Từ điều kiện A, B là số nguyên dương, xác định A, B.

- Tìm \(u,\,\,v\) sau đó tính \(xy\).

Giải chi tiết

Đặt \(u = \sqrt {\log x} ,\,\,v = \sqrt {\log y} \), khi đó ta có: \(\log \sqrt x = \frac{1}{2}\log x = \frac{1}{2}{u^2}\), \(\log \sqrt y = \frac{1}{2}\log y = \frac{1}{2}{v^2}\).

Theo bài ra ta có: \(u + v + \frac{1}{2}{u^2} + \frac{1}{2}{v^2} = 100\) (*) và \({u^2} + {v^2} = \log x + \log y = \log \left( {xy} \right)\) \( \Rightarrow xy = {10^{{u^2} + {v^2}}}\).

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow {u^2} + {v^2} + 2u + 2v = 200\\ \Leftrightarrow {u^2} + 2u + 1 + {v^2} + 2v + 1 = 202\\ \Leftrightarrow {\left( {u + 1} \right)^2} + {\left( {v + 1} \right)^2} = 202\end{array}\)

Do \(\sqrt {\log x} \), \(\sqrt {\log y} \) là các số nguyên dương nên \(u,\,\,v\) là các số nguyên dương.

Ta có \(202 = 81 + 121 = {9^2} + {11^2}\), do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {u + 1} \right)^2} = {9^2}\\{\left( {v + 1} \right)^2} = {11^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 8\\v = 10\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {u + 1} \right)^2} = {11^2}\\{\left( {v + 1} \right)^2} = {9^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = 10\\v = 8\end{array} \right.\).

Khi đó \({u^2} + {v^2} = {8^2} + {10^2} = 164\).

Vậy \(xy = {10^{164}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.