Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(y =

Câu hỏi số 410177:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình bên. Hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 4x} \right) - {x^2} - 4x\) có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( { - 5;1} \right)\)?

A. \(5\)

B. \(4\)

C. \(6\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:410177

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(t = {x^2} + 4x\), tìm khoảng giá trị của t.

- Tính đạo hàm \(y'\), giải phương trình \(y' = 0\) tìm nghiệm t.

- Từ nghiệm t tìm ra nghiệm x và kết luận số điểm cực trị của hàm số.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}y' = \left( {2x + 4} \right)f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - 2x - 4\\y' = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2x + 4} \right)\left[ {f'\left( {{x^2} + 4x} \right) - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\f'\left( {{x^2} + 4x} \right) = 1\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(t = {x^2} + 4x\) ta có: \(t' = 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\).

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy với \(x \in \left( { - 5; - 1} \right)\) thì \(t \in \left[ { - 4;5} \right)\).

Ta có phương trình (*) trở thành \(f'\left( t \right) = 1\).

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = 1\).

Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) ta thấy trên nửa đoạn \(\left[ { - 4;5} \right)\) phương trình \(f'\left( t \right) = 1\) có 3 nghiệm phân biệt \(t = - 4\), \(t = 0\) và \(t = {t_0} \in \left( {1;5} \right)\).

Dựa vào BBT hàm số \(t = {x^2} + 4x\) ta có:

+ Phương trình \({x^2} + 4x = - 4\) có 1 nghiệm kép (không là cực trị).

+ Phương trình \({x^2} + 4x = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.

+ Phương trình \({x^2} + 4x = {t_0} \in \left( {1;5} \right)\) có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình \(y' = 0\) có 5 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.