Xét các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(2\left( {{x^2} + {y^2} + 4} \right) + {\log _2}\left(
Xét các số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(2\left( {{x^2} + {y^2} + 4} \right) + {\log _2}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{y}} \right) = \dfrac{1}{2}{\left( {xy - 4} \right)^2}\). Khi \(x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất, \(\dfrac{x}{y}\) bằng:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Biến đổi, xét hàm đặc trưng.
- Rút một ẩn theo ẩn còn lại, thế vào biểu thức \(x + 4y\).
- Sử dụng phương pháp khảo sát hàm số và lập BBT để tìm GTNN của biểu thức.
Ta có:
\(\begin{array}{l}2\left( {{x^2} + {y^2} + 4} \right) + {\log _2}\left( {\dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{y}} \right) = \dfrac{1}{2}{\left( {xy - 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + 4} \right) + {\log _2}\dfrac{{2\left( {x + y} \right)}}{{xy}} = \dfrac{1}{2}{\left( {xy - 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + 4} \right) + {\log _2}\left[ {2\left( {x + y} \right)} \right] = {\log _2}\left( {xy} \right) + \dfrac{1}{2}{\left( {xy - 4} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + 4} \right) + {\log _2}\left[ {2\left( {x + y} \right)} \right] = {\log _2}\left( {xy} \right) + \dfrac{1}{2}{\left( {xy} \right)^2} - 4xy + 8\\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy} \right) + {\log _2}\left[ {2\left( {x + y} \right)} \right] = {\log _2}\left( {xy} \right) + \dfrac{1}{2}{\left( {xy} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{\left( {2x + 2y} \right)^2} + {\log _2}\left( {2x + 2y} \right) = \dfrac{1}{2}{\left( {xy} \right)^2} + {\log _2}\left( {xy} \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{1}{2}{t^2} + {\log _2}t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = t + \dfrac{1}{{t\ln 2}} > 0\,\,\forall t > 0\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Mặt khác theo (*) ta có \(f\left( {2x + 2y} \right) = f\left( {xy} \right) \Leftrightarrow 2x + 2y = xy\) \( \Leftrightarrow 2x - xy = - 2y \Leftrightarrow x\left( {2 - y} \right) = - 2y\).
Nếu \(y \le 2\) thì \(2 - y \ge 0\) \( \Rightarrow x\left( {2 - y} \right) \ge 0\). Mà \(y > 0 \Rightarrow - 2y < 0\) (Vô lí).
\( \Rightarrow y > 2 \Rightarrow 2 - y < 0\), khi đó ta có \(x = \dfrac{{ - 2y}}{{2 - y}}\,\,\left( {y > 2} \right)\).
Đặt \(P = x + 4y = \dfrac{{ - 2y}}{{2 - y}} + 4y = \dfrac{{6y - 4{y^2}}}{{2 - y}}\,\,\left( {y > 2} \right)\).
\(\begin{array}{l}P' = \dfrac{{\left( {6 - 8y} \right)\left( {2 - y} \right) - \left( {6y - 4{y^2}} \right).\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {2 - y} \right)}^2}}}\\P' = \dfrac{{12 - 22y + 8{y^2} + 6y - 4{y^2}}}{{{{\left( {2 - y} \right)}^2}}}\\P' = \dfrac{{4{y^2} - 16y + 12}}{{{{\left( {2 - y} \right)}^2}}}\\P' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 3\\y = 1\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Từ BBT ta thấy hàm số đạt GTNN tại \(y = 3 \Rightarrow x = 6\).
Vậy \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{6}{3} = 2\).
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
