Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy bằng \({60^0}\) (minh hoa như hình bên). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và MN bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song và chứa đường thẳng kia. Chứng minh \(d\left( {SB;MN} \right) = d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right)\) với P là trung điểm của SA.
- Xác định khoảng cách bằng phương pháp 3 nét: Kẻ \(AH \bot MN,\,\,AK \bot PH\) và chứng minh \(AK = d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right)\).
- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Gọi P là trung điểm của SA.
Ta có: \(MP\parallel SB \Rightarrow SB\parallel \left( {MNP} \right) \supset MN\).
\( \Rightarrow d\left( {SB;MN} \right) = d\left( {SB;\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {MNP} \right)} \right)\).
Lại có: \(AB \cap \left( {MNP} \right) = M \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B;\left( {MNP} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right)}} = \dfrac{{BM}}{{AM}} = 1\) \( \Rightarrow d\left( {B;\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right)\).
Trong (ABC), dựng \(AH \bot MN\,\,\left( {H \in MN} \right)\), trong (APH) dựng \(AK \bot PH\,\,\left( {K \in PH} \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}MN \bot AH\\MN \bot PA\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {APH} \right) \Rightarrow MN \bot AK\\\left\{ \begin{array}{l}AK \bot PH\\AK \bot MN\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {MNP} \right)\\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right) = AK \Rightarrow d\left( {SB;MN} \right) = AK\end{array}\)
Do \(\left( {MNP} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\), mà theo giả thiết ta có \(\angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = {60^0}\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {MNP} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = {60^0}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNP} \right) \cap \left( {ABC} \right) = MN\\AH \subset \left( {ABC} \right),\,\,AH \bot MN\\PH \subset \left( {MNP} \right),\,\,PH \bot MN\,\,\left( {do\,\,MN \bot \left( {APH} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {MNP} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {AH;PH} \right) = \angle AHP = {60^0}\).
Tam giác ABC đều cạnh a suy ra tam giác \(AMN\) đều cạnh \(\dfrac{a}{2}\)\( \Rightarrow AH = \dfrac{{\dfrac{a}{2}.\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\)
Tam giác AHK vuông tại K \( \Rightarrow AK = AH.\sin \angle AHP = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}.\sin {60^0} = \dfrac{{3a}}{8}\).
Vậy \(d\left( {SB;MN} \right) = AK = \dfrac{{3a}}{8}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
