Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để bất phương trình \(\left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\left( {m{x^2} - 4\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3} \right) > 0\) vô nghiệm ?

Câu 410823: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để bất phương trình \(\left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\left( {m{x^2} - 4\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3} \right) > 0\) vô nghiệm ?

A. \(2\)

B. vô số.

C. \(3\)

D. \(4\)

Câu hỏi : 410823

Phương pháp giải:

Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2: \(f\left( x \right) > 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\)

Chú ý: chia thành 2 trường hợp \(m = 0;m \ne 0\)

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\left[ {m{x^2} - 4\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3} \right] > 0\,\,\,\,\left( * \right)\)

Ta có: \({x^2} - 3x + 4 = {\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0\,\,\,\forall x\)

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow m{x^2} - 4\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3 > 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

Đặt \(f\left( x \right) = m{x^2} - 4\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3\)

TH1: \(m = 0\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = - 4x + 3\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow x < \frac{3}{4}\)

\( \Rightarrow \) Bất phương trình đã cho có nghiệm khi \(m = 0.\)

TH2: \(m \ne 0\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = m{x^2} - 4\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3\) là tam thức bậc hai

\( \Rightarrow f\left( x \right) > 0\) vô nghiệm

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\4{\left( {m + 1} \right)^2} - m\left( {3m + 3} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\4{m^2} + 8m + 4 - 3{m^2} - 3m \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\{m^2} + 5m + 4 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - 4 \le m \le - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow - 4 \le m \le - 1\end{array}\)

Lại có \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1} \right\}.\)

Vậy số các giá trị nguyên để bất phương trình vô nghiệm là \(4.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây