Biết \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính giá trị của biểu

Câu hỏi số 410846:

Vận dụng

Biết \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính giá trị của biểu thức

\(P = \,1 - 2{\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) + \sin 2\alpha + \cos \,(\pi - 2\alpha ) - 6\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\)

A. \(\frac{{29}}{5}\)

B. \(\frac{{24}}{5}\)

C. \(\frac{{28}}{5}\)

D. \(\frac{{26}}{5}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:410846

Phương pháp giải

Bước 1: Thu gọn \(P\) bằng cách biến đổi, rút gọn sử dụng các công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}1 - 2{\sin ^2}\alpha = \cos 2\alpha \\\cos \left( {\pi - 2\alpha } \right) = - \cos 2\alpha \\\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \\\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \end{array} \right.\)

Bước 2: Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) và điều kiện \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) để tìm được \(\cos x\)

Bước 3: Tính toán các giá trị lượng giác dựa vào \(\sin \alpha ;\cos \alpha \) đã biết, cụ thể áp dụng các công thức\(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \\\,\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\\\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \,\,\end{array} \right..\)

Bước 4: Thay số vào biểu thức \(P\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}P = \,\left[ {1 - 2{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)} \right] + \sin 2\alpha + \cos \,(\pi - 2\alpha ) - 6\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\ = \cos \left( {2.\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)} \right) + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha - 6\cot \alpha \\ = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2\alpha } \right) + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha - 6\cot \alpha \\ = \sin 2\alpha + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha - 6\cot \alpha \\ = 2\sin 2\alpha - \cos 2\alpha - 6\cot \alpha \end{array}\)

Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + {\cos ^2} = 1 \Leftrightarrow \cos \alpha = \pm \frac{4}{5}\)

Mà \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \cos \alpha < 0\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{ - 4}}{5}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{\frac{{ - 4}}{5}}}{{\frac{3}{5}}} = \frac{{ - 4}}{3}\\\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2.\frac{3}{5}.\frac{{ - 4}}{5} = \frac{{ - 24}}{{25}}\\\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{7}{{25}}\end{array}\)

\( \Rightarrow P = 2\sin 2\alpha - \cos 2\alpha - 6\cot \alpha \)\( = 2.\frac{{ - 24}}{{25}} - \frac{7}{{25}} - 6.\frac{{ - 4}}{3} = \frac{{29}}{5}\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.