Biết \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính giá trị của biểu

Câu hỏi số 410846:

Vận dụng

Biết \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Tính giá trị của biểu thức

\(P = \,1 - 2{\sin ^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) + \sin 2\alpha + \cos \,(\pi - 2\alpha ) - 6\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\)

A. \(\frac{{29}}{5}\)

B. \(\frac{{24}}{5}\)

C. \(\frac{{28}}{5}\)

D. \(\frac{{26}}{5}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:410846

Phương pháp giải

Bước 1: Thu gọn \(P\) bằng cách biến đổi, rút gọn sử dụng các công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}1 - 2{\sin ^2}\alpha = \cos 2\alpha \\\cos \left( {\pi - 2\alpha } \right) = - \cos 2\alpha \\\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cot \alpha \\\cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \sin \alpha \end{array} \right.\)

Bước 2: Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) và điều kiện \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \) để tìm được \(\cos x\)

Bước 3: Tính toán các giá trị lượng giác dựa vào \(\sin \alpha ;\cos \alpha \) đã biết, cụ thể áp dụng các công thức\(\left\{ \begin{array}{l}\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \\\,\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\\\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha \,\,\end{array} \right..\)

Bước 4: Thay số vào biểu thức \(P\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}P = \,\left[ {1 - 2{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)} \right] + \sin 2\alpha + \cos \,(\pi - 2\alpha ) - 6\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\ = \cos \left( {2.\left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)} \right) + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha - 6\cot \alpha \\ = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2\alpha } \right) + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha - 6\cot \alpha \\ = \sin 2\alpha + \sin 2\alpha - \cos 2\alpha - 6\cot \alpha \\ = 2\sin 2\alpha - \cos 2\alpha - 6\cot \alpha \end{array}\)

Ta có: \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + {\cos ^2} = 1 \Leftrightarrow \cos \alpha = \pm \frac{4}{5}\)

Mà \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \cos \alpha < 0\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \frac{{ - 4}}{5}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{\frac{{ - 4}}{5}}}{{\frac{3}{5}}} = \frac{{ - 4}}{3}\\\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha = 2.\frac{3}{5}.\frac{{ - 4}}{5} = \frac{{ - 24}}{{25}}\\\cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha = 1 - 2.{\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{7}{{25}}\end{array}\)

\( \Rightarrow P = 2\sin 2\alpha - \cos 2\alpha - 6\cot \alpha \)\( = 2.\frac{{ - 24}}{{25}} - \frac{7}{{25}} - 6.\frac{{ - 4}}{3} = \frac{{29}}{5}\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10