Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) và \(BC = a.\) Cạnh bên \(SA\)

Câu hỏi số 412220:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(B\) và \(BC = a.\) Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy \(\left( {ABC} \right).\) Gọi \(H,{\rm{ }}K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(SB\) và \(SC.\) Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.HKCB\) bằng

A. \(\sqrt 2 \pi {a^3}.\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 2 \pi {a^3}}}{3}.\)

C. \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{6}.\)

D. \(\dfrac{{\pi {a^3}}}{2}.\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:412220

Phương pháp giải

- Xác định vị trí tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp – là điểm cách đều các đỉnh của khối chóp.

- Tính bán kính \(R\) của khối cầu.

- Tính thể tích khối cầu bán kính \(R\): \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).

Giải chi tiết

Gọi \(O\) là trung điểm của \(AC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot HC\) \( \Rightarrow \Delta AHC\) vuông tại \(H\) \( \Rightarrow H\) thuộc mặt cầu tâm \(O\) đường kính \(AC\).

Ta lại có: \(\Delta AKC,\,\,\Delta ABC\) lần lượt vuông tại \(K,\,\,B\) \( \Rightarrow K,\,\,B\) thuộc thuộc mặt cầu tâm \(O\) đường kính \(AC\).

\( \Rightarrow \) 5 điểm \(A,\,\,H,\,\,K,\,\,B,\,\,C\) đều thuộc mặt cầu tâm \(O\) đường kính AC hay khối chóp \(A.HKCB\) nội tiếp mặt cầu tâm \(O\) đường kính \(AC\). Khi đó bán kính mặt cầu là \(R = \dfrac{{AC}}{2}\).

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) và \(BC = a \Rightarrow AC = a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow R = \dfrac{{AC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.HKCB\) bằng \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^3} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.