Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{y}{2} = z - 1\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,2x - y + z - 3 = 0\). Biết \(\left( P \right)\) có phương trình dạng \(ax - y + cz + d = 0\). Hãy tính tổng \(a + c + d\).

Câu 413741: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{y}{2} = z - 1\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,2x - y + z - 3 = 0\). Biết \(\left( P \right)\) có phương trình dạng \(ax - y + cz + d = 0\). Hãy tính tổng \(a + c + d\).

A. \(a + c + d = - 3\)

B. \(a + c + d = - 4\)

C. \(a + c + d = 4\)

D. \(a + c + d = 3\)

Câu hỏi : 413741

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Xác định \(\overrightarrow {{u_d}} \) là 1 VTCP của đường thăngr \(d\) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

- Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} \left( {a; - 1;c} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\), theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \supset d\\\left( P \right) \bot \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0\end{array} \right.\), giải hệ phương trình tìm \(a,\,\,c\).

- Lấy điểm \(M\) bất kì thuộc đường thẳng \(d\), \(d \subset \left( P \right) \Rightarrow M \in \left( P \right)\). Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) tìm \(d\).

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{y}{2} = z - 1\) có 1 VTCP là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {3;2;1} \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,2x - y + z - 3 = 0\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 1;1} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_P}} \left( {a; - 1;c} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( P \right)\), theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \supset d\\\left( P \right) \bot \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\\\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a - 2 + c = 0\\2a + 1 + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\c = - 7\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng \(3x - y - 7z + d = 0\).

Lấy \(M\left( {2;0;1} \right) \in d\), vì \(d \subset \left( P \right) \Rightarrow M \in \left( P \right)\).

\( \Rightarrow 3.2 - 0 - 7.1 + d = 0 \Leftrightarrow d - 1 = 0 \Leftrightarrow d = 1\).

Vậy \(a + c + d = 3 + \left( { - 7} \right) + 1 = - 3\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.