Tính tích phân:

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 4140:

Tính tích phân: $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}$ $\frac{(cosx+sinx)dx}{\sqrt{3+sin2x}}$

A. I=-2

B. I=5

C. I= $\frac{\pi }{6}$

D. I= $\frac{\pi }{3}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:4140

Giải chi tiết

Ta viết: I= $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}$ $\frac{cosx+sinx}{\sqrt{4-(1-sin2x})}$ dx

= $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}$ $\frac{cosx+sinx}{\sqrt{4-(sin^{2}x}+cos^{2}x-2sinx.cosx)}$ dx

= $\int_{0}^{\frac{\pi }{4}}$ $\frac{cosx+sinx}{\sqrt{4-(sinx-cosx)^{2}}}$ dx

Đến đây ta dễ dàng nhận ra phép đối biến cho tích phân đang xét.

Ta có: d(sinx-cosx)=(sinx-cosx)'dx=(sinx+cosx)dx

Đặt sinx-cosx=t

x=0 => t=-1; x= $\frac{\pi }{4}$ => t=0

dt=(sinx+cosx)dx.

Vậy I= $\int_{-1}^{0}$ $\frac{dt}{\sqrt{4-t^{2}}}$ (2)

Ta tiếp tục đặt trong (2): t=2siny; y∈[ $\frac{-\pi }{2}$ ; $\frac{\pi }{2}$ ] => dt=2cosydy

=> $\int_{-1}^{0}$ $\frac{dt}{\sqrt{4-x^{2}}}$

t=-1 => y= $\frac{-\pi }{6}$ ; t=0 => y=0

= $\int_{-1}^{0}$ $\frac{2cosy}{\sqrt{4-sin^{2}y}}$ .dy

= $\int_{\frac{-\pi }{6}}^{0}$ $\frac{cosy}{|cosy|}$ .dy= $\int_{\frac{-\pi }{6}}^{0}$ dy; do cosy>0

=> I= $\int_{\frac{-\pi }{6}}^{0}$ dy= y $|_{\frac{-\pi }{6}}^{0}$ = $\frac{\pi }{6}$

Đáp số: I= $\frac{\pi }{6}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.