Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x}\,\,khi\,\,x \ne

Câu hỏi số 414053:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x}\,\,khi\,\,x \ne 0\\\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\). Khi đó \(f'\left( 0 \right)\) là kết quả nào trong các kết quả sau:

A. không tồn tại \(f'\left( 0 \right)\).

B. \(\dfrac{1}{{32}}.\)

C. \(\dfrac{1}{{64}}.\)

D. \(\dfrac{1}{4}.\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:414053

Phương pháp giải

- Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 0\).

- Tính giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\). Nếu giới hạn này tồn tại thì \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{4 - 4 + x}}{{x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{2 + \sqrt {4 - x} }} = \dfrac{1}{{2 + 2}} = \dfrac{1}{4}\\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số đã cho liên tục tại \(x = 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\dfrac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{x} - \dfrac{1}{4}}}{x}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{8 - 4\sqrt {4 - x} - x}}{{4{x^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{{\left( {8 - x} \right)}^2} - 16\left( {4 - x} \right)}}{{4{x^2}\left( {8 - x + 4\sqrt {4 - x} } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} - 16x + 64 - 64 + 16x}}{{4{x^2}\left( {8 - x + 4\sqrt {4 - x} } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{4\left( {8 - x + 4\sqrt {4 - x} } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{{4\left( {8 - 0 + 4.2} \right)}} = \dfrac{1}{{64}}\end{array}\)

Vậy \(f'\left( 0 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \dfrac{1}{{64}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.