Cho mệnh đề chứa biến \(P\left( {x;y} \right)\) là hệ phương trình như sau \(\left\{

Câu hỏi số 414763:

Vận dụng cao

Cho mệnh đề chứa biến \(P\left( {x;y} \right)\) là hệ phương trình như sau \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x - 16} + \sqrt {y - 9} = 7}\\{\frac{{8xy}}{{{x^2} + {y^2} + 6xy}} + \frac{{17}}{8}\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right) = \frac{{21}}{4}}\end{array}} \right.\)

Tìm giá trị của x, y để được mệnh đề đúng.

A. \(\left( {25; - 25} \right)\)

B. \(\left( { - 25; - 25} \right)\)

C. \(\left( {25;25} \right)\)

D. \(\left( { - 25;25} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:414763

Phương pháp giải

Đặt điều kiện để hệ phương trình có nghĩa.

Giải hệ phương trình hoặc thử nghiệm của hệ phương trình và chọn đáp án đúng.

Giải chi tiết

Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {x - 16} + \sqrt {y - 9} = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{\frac{{8xy}}{{{x^2} + {y^2} + 6xy}} + \frac{{17}}{8}\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right) = \frac{{21}}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Điều kiện: \(x \ge 16;y \ge 9\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{8}{{\frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 6}} + \frac{{17}}{8}\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right) = \frac{{21}}{4}\,\,\,\,\left( 3 \right)\)

Đặt \(t = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}\).

Ta có: \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2\sqrt {\frac{x}{y}.\frac{y}{x}} = 2\) với mọi \(x \ge 16;\,\,y \ge 9\) \( \Rightarrow t \ge 2.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 3 \right) \Leftrightarrow \frac{8}{{t + 6}} + \frac{{17}}{8}t = \frac{{21}}{4}\\ \Leftrightarrow 64 + 17t\left( {t + 6} \right) = 42\left( {t + 6} \right)\\ \Leftrightarrow 17{t^2} + 60t - 188 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {17t + 94} \right)\left( {t - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 2 = 0\\17t + 94 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - \frac{{94}}{{17}}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2xy = 0\\ \Leftrightarrow x = y.\\ \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {x - 16} + \sqrt {x - 9} = 7\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x - 16} + \sqrt {x - 9} } \right)^2} = 49\\ \Leftrightarrow x - 16 + x - 9 + 2\sqrt {\left( {x - 16} \right)\left( {x - 9} \right)} = 49\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x - 16} \right)\left( {x - 9} \right)} = 74 - 2x\\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x - 16} \right)\left( {x - 9} \right)} = 37 - x\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}37 - x \ge 0\\\left( {x - 16} \right)\left( {x - 9} \right) = {\left( {37 - x} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 37\\{x^2} - 25x + 144 = 1369 - 74x + {x^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 37\\49x = 1225\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 37\\x = 25\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 25\\ \Rightarrow x = y = 25\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy \(\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {25;\,\,25} \right)\) thỏa mãn bài toán.

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.