Cho các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9; có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

Câu hỏi số 415172:

Vận dụng cao

Cho các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9; có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 15, gồm 4 chữ số đôi một khác nhau?

A. \(124\)

B. \(132\)

C. \(136\)

D. \(120\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:415172

Phương pháp giải

- Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.

- Xét các trường hợp sau:

TH1: \(d = 0\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \).

+ \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left( {\bmod 1} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {1;4;7} \right\}\).

+ \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left( {\bmod 2} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\).

+ Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

TH2: \(d = 5\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc5} \).

+ Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.

+ Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 2.

+ Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 2 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

Giải chi tiết

Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \(\overline {abcd} \,\,\left( {a \ne 0} \right)\).

Để một số chia hết cho 15 thì số đó phải chia hết cho 3 và cho 5.

\( \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}\).

TH1: \(d = 0\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc0} \).

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \(a + b + c\,\, \vdots \,\,3\).

Ta có các nhóm: \(\left\{ \begin{array}{l}9\,\, \equiv \,\,3\left( {\bmod 0} \right)\\\left\{ {1;4;7} \right\} \equiv 3\,\,\left( {\bmod 1} \right)\\\left\{ {2;5;8} \right\} \equiv 3\,\,\left( {\bmod 2} \right)\end{array} \right.\)

+ \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left( {\bmod 1} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {1;4;7} \right\}\).

\( \Rightarrow \) Có \(3!\) cách chọn.

+ \(a,\,\,b,\,\,c \equiv 3\,\,\left( {\bmod 2} \right) \Rightarrow a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {2;5;8} \right\}\).

\( \Rightarrow \) Có \(3!\) cách chọn.

+ Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

\( \Rightarrow \) Có \(1.C_3^1.C_3^1.3!\) cách chọn.

\( \Rightarrow \) Có \(3! + 3! + 1.C_3^1.C_3^1.3! = 66\) số.

TH2: \(d = 5\), số cần tìm có dạng \(\overline {abc5} \).

Để số cần tìm chia hết cho 3 thì \(a + b + c + 5\,\, \vdots \,\,3\), trong đó \(5 \equiv 3\,\,\left( {\bmod 2} \right)\).

Ta có các nhóm: \(\left\{ \begin{array}{l}\left\{ {0;9} \right\}\,\, \equiv \,\,3\left( {\bmod 0} \right)\\\left\{ {1;4;7} \right\} \equiv 3\,\,\left( {\bmod 1} \right)\\\left\{ {2;8} \right\} \equiv 3\,\,\left( {\bmod 2} \right)\end{array} \right.\)

+ Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 2 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1.

\( \Rightarrow \) Có \(C_3^1.3! - C_1^3.2! = 12\) cách chọn.

+ Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số chia hết cho 3, 2 số chia 3 dư 2.

\( \Rightarrow \) Có \(C_2^1.3! - 2! = 10\) cách chọn.

+ Trong 3 số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 2 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

\( \Rightarrow \) Có \(C_3^2.C_2^1.3! = 36\) cách chọn.

Vậy có tất cả \(66 + 12 + 10 + 36 = 124\) số thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.