Cho các số thực \(x,\,\,y \ge 1\) và thỏa mãn điều kiện \(xy \le 4\) . Biểu thức \(P = {\log _{4x}}8x

Câu hỏi số 415824:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(x,\,\,y \ge 1\) và thỏa mãn điều kiện \(xy \le 4\) . Biểu thức \(P = {\log _{4x}}8x - {\log _{2{y^2}}}\dfrac{{{y^2}}}{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = {x_0}\), \(y = {y_0}\). Đặt \(T = x_0^4 + y_0^4\) mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(T = 131\)

B. \(T = 132\)

C. \(T = 129\)

D. \(T = 130\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:415824

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = {\log _{4x}}8x - {\log _{2{y^2}}}\dfrac{{{y^2}}}{2}\\P = \dfrac{{{{\log }_2}8x}}{{{{\log }_2}4x}} - \dfrac{{{{\log }_2}\dfrac{{{y^2}}}{2}}}{{{{\log }_2}2{y^2}}}\\P = \dfrac{{3 + {{\log }_2}x}}{{2 + {{\log }_2}x}} - \dfrac{{2{{\log }_2}y - 1}}{{1 + 2{{\log }_2}y}}\end{array}\)

Đặt \(a = {\log _2}x,\,\,b = {\log _2}y\,\,\left( {a,\,\,b \ge 0} \right)\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{3 + a}}{{2 + a}} - \dfrac{{2b - 1}}{{2b + 1}}\\P = 1 + \dfrac{1}{{2 + a}} - 1 + \dfrac{2}{{2b + 1}}\\P = \dfrac{1}{{2 + a}} + \dfrac{2}{{2b + 1}}\end{array}\)

Vì \(xy \ge 4\) suy ra \({2^a}{.2^b} \le 4 \Leftrightarrow {2^{a + b}} \le 4 \Leftrightarrow a + b \le 2\) \( \Leftrightarrow 0 \le a \le 2 - b\).

\( \Rightarrow P \ge \dfrac{1}{{4 - b}} + \dfrac{2}{{2b + 1}} = f\left( b \right)\,\,\left( {b \in \left[ {0;2} \right]} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( b \right) = \dfrac{1}{{{{\left( {4 - b} \right)}^2}}} - \dfrac{4}{{{{\left( {2b + 1} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {4 - b} \right)^2} = {\left( {2b + 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2\left( {4 - b} \right) = 2b + 1\\2\left( {4 - b} \right) = - 2b - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8 - 2b = 2b + 1\\8 - 2b = - 2b - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 4b = 7 \Leftrightarrow b = \dfrac{7}{4} \in \left[ {0;2} \right]\end{array}\)

\(f\left( 0 \right) = \dfrac{9}{4},\,\,f\left( 2 \right) = \dfrac{9}{{10}},\,\,f\left( {\dfrac{7}{4}} \right) = \dfrac{8}{9}\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( b \right) = f\left( {\dfrac{7}{4}} \right) = \dfrac{8}{9}\).

\( \Rightarrow \min P = \dfrac{8}{9} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x = \dfrac{1}{4}\\{\log _2}y = \dfrac{7}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {2^{\dfrac{1}{4}}} = {x_0}\\y = {2^{\dfrac{7}{4}}} = {y_0}\end{array} \right.\).

Vậy \(T = x_0^4 + y_0^4 = {\left( {{2^{\dfrac{1}{4}}}} \right)^4} + {\left( {{2^{\dfrac{7}{4}}}} \right)^4} = 2 + {2^7} = 130\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.