Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1}

Câu hỏi số 415823:

Vận dụng

Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y = \dfrac{1}{3}{x^3} - \left( {m - 1} \right){x^2} - 4mx\) đồng biến trên \(\left[ {1;5} \right]\) là:

A. \(\dfrac{1}{2} < m < 2\)

B. \(m \le 2\)

C. \(m \le \dfrac{1}{2}\)

D. \(m \in \mathbb{R}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:415823

Phương pháp giải

- Hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\).

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {a;b} \right] \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\).

- Khảo sát hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\), lập BBT và tìm \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(y' = {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m\).

Để hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;5} \right]\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {1;5} \right]\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - 4m \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {1;5} \right]\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + 2x - 4m \ge 0\,\,\forall x \in \left[ {1;5} \right]\\ \Leftrightarrow 2mx + 4m \le {x^2} + 2x\,\,\,\forall x \in \left[ {1;5} \right]\\ \Leftrightarrow 2m\left( {x + 2} \right) \le {x^2} + 2x\,\,\forall x \in \left[ {1;5} \right]\\ \Leftrightarrow 2m \le \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}} = f\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {1;5} \right]\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right)\end{array}\)

Ta có \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 2x}}{{x + 2}}=\dfrac{x(x+2)}{x+2}=x\) xác định trên \(\left[ {1;5} \right]\) có \(f'\left( x \right) = 1 > 0\,\,\forall x \in \left[ {1;5} \right]\) nên hàm số đồng biến trên \(\left[ {1;5} \right]\), suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 1 \Leftrightarrow 2m \le 1 \Leftrightarrow m \le \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.