Cho ba số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(abc = 10\). Biết giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = 5\log a.\log b + 2\log b.\log c + \log c.\log a = \dfrac{m}{n}\) với \(m,\,\,n\) nguyên dương và \(\dfrac{m}{n}\) tối giản. Tổng \(m + n\) bằng:

Câu 416249: Cho ba số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \(abc = 10\). Biết giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = 5\log a.\log b + 2\log b.\log c + \log c.\log a = \dfrac{m}{n}\) với \(m,\,\,n\) nguyên dương và \(\dfrac{m}{n}\) tối giản. Tổng \(m + n\) bằng:

A. \(13\)

B. \(16\)

C. \(7\)

D. \(10\)

Câu hỏi : 416249

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Đặt \(x = \log a,\,\,y = \log b,\,\,z = \log c\), từ giả thiết suy ra \(x + y + z = 1\) và đưa biểu thức \(F\) về hai ẩn \(x,\,\,y\).

- Biến đổi \(F\) về dạng \(F = - \left( {{A^2} + {B^2} + C} \right) \Rightarrow F \le - C\).

- Đồng nhất hệ số tìm \(m,\,\,n\) và tính tổng \(m + n\).

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Theo bài ra ta có: \(abc = 10 \Leftrightarrow \log \left( {abc} \right) = \log 10 = 1\) \( \Rightarrow \log a + \log b + \log c = 1\).

Đặt \(x = \log a,\,\,y = \log b,\,\,z = \log c\) ta có \(x + y + z = 1\) và

\(\begin{array}{l}F = 5xy + 2yz + zx\\F = 5xy + z\left( {2y + x} \right)\\F = 5xy + \left( {1 - x - y} \right)\left( {2y + x} \right)\\F = 5xy + 2y - 2xy - 2{y^2} + x - {x^2} - xy\\F = 2xy + 2y - 2{y^2} + x - {x^2}\\F = - 2{y^2} + 2y\left( {x + 1} \right) + x - {x^2}\\F = - \dfrac{1}{2}\left( {4{y^2} - 4y\left( {x + 1} \right) + {{\left( {x + 1} \right)}^2} + {x^2} - 4x - 1} \right)\\F = - \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {2y - x - 1} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2} - 5} \right]\end{array}\)

Vì \({\left( {2y - x - 1} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\) \( \Rightarrow {\left( {2y - x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} - 5 \ge - 5\).

\( \Rightarrow F \le \dfrac{5}{2}\) \( \Rightarrow {F_{\max }} = \dfrac{5}{2}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2y - x - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \dfrac{3}{2}\end{array} \right. \Rightarrow z = 1 - x - y = - \dfrac{5}{2}\).

Khi đó ta suy ra \(m = 5,\,\,n = 2\).

Vậy \(m + n = 5 + 2 = 7.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.