Gọi \(S\) là tập nghiệm của phương trình \(\left( {{2^x} - 2x} \right)\sqrt {{3^{{2^x}}} - m} = 0\) (với \(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 2020;2020} \right]\) để tập hợp \(S\) có hai phần tử?

Câu 416254: Gọi \(S\) là tập nghiệm của phương trình \(\left( {{2^x} - 2x} \right)\sqrt {{3^{{2^x}}} - m} = 0\) (với \(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 2020;2020} \right]\) để tập hợp \(S\) có hai phần tử?

A. \(2094\)

B. \(2092\)

C. \(2093\)

D. \(2095\)

Câu hỏi : 416254

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Tìm khoảng giá trị của \(\cos x\) với \(x \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) , từ đó suy ra khoảng giá trị của \(f\left( {\cos x} \right),\,\,f\left( {f\left( {\cos x} \right)} \right)\).

- Phương trình \(f\left( {f\left( {\cos x} \right)} \right) = m\) có nghiệm khi và chỉ khi \(m\) thuộc khoảng giá trị của \(f\left( {f\left( {\cos x} \right)} \right)\).

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
ĐKXĐ: \({3^{{2^x}}} - m \ge 0 \Leftrightarrow {3^{{2^x}}} \ge m \Leftrightarrow {2^x} \ge {\log _3}m \Leftrightarrow x \ge {\log _2}\left( {{{\log }_3}m} \right)\).

Ta có: \(\left( {{2^x} - 2x} \right)\sqrt {{3^{{2^x}}} - m} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} - 2x = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\{3^{{2^x}}} - m = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Xét phương trình (1): \({2^x} - 2x = 0\), số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} - 2x\) và trục hoành.

Ta có \(g'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 - 2 = 0 \Leftrightarrow {2^x} = \dfrac{2}{{\ln 2}} \Leftrightarrow x = {\log _2}\dfrac{2}{{\ln 2}} = {x_0}\).

BBT:

Ta có \(f\left( {{x_0}} \right) \approx - 0,17 < 0\), do đó phương trình \({2^x} - 2x = 0\) có 2 nghiệm phân biệt.

Lại có \(f\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) = 0\) nên phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(x = 1,\,\,x = 2\).

Xét phương trình (2): \({3^{{2^x}}} - m = 0 \Leftrightarrow {3^{{2^x}}} = m\).

Ta có: \({2^x} > 0\,\,\forall x \Leftrightarrow {3^{{2^x}}} > {3^0} = 1\).

TH1: \(m \le 1\) \( \Rightarrow \) Phương trình (2) vô nghiệm (thỏa mãn).

TH2: \(m > 1\), phương trình (2) \( \Leftrightarrow {2^x} = {\log _3}m \Leftrightarrow x = {\log _2}\left( {{{\log }_3}m} \right)\).

Đối chiếu ĐKXĐ ta thấy: Phương trình ban đầu có đúng 2 nghiệm phân biệt thì \(1 \le {\log _2}\left( {{{\log }_3}m} \right) < 2\).

\( \Rightarrow 2 \le {\log _3}m < 4 \Leftrightarrow 9 \le m < 81\).

Kết hợp hai trường hợp ta có \(m \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {9;81} \right)\).

Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(m \in \left[ { - 2020;1} \right] \cup \left[ {9;81} \right)\), \(m \in \mathbb{Z}\).

Vậy có \(\left( {1 + 2020 + 1} \right) + \left( {80 - 9 + 1} \right) = 2094\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.