Xét các số thực dương phân biệt \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\dfrac{{x + y}}{{x - y}} = {\log _2}3.\)Khi biểu

Câu hỏi số 416834:

Vận dụng cao

Xét các số thực dương phân biệt \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(\dfrac{{x + y}}{{x - y}} = {\log _2}3.\)Khi biểu thức \({4^{x + y}} + {16.3^{y - x}}\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của \(x + 3y\) bằng:

A. \(1 + {\log _3}2\)

B. \(1 + {\log _2}3\)

C. \(2 - {\log _3}2\)

D. \(2 - {\log _2}3\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:416834

Phương pháp giải

- Từ giả thiết đề bài cho, rút \(x - y\) theo \(x + y\).

- Thế vào biểu thức \({4^{x + y}} + {16.3^{y - x}}\), áp dụng BĐT Cô-si: \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c \ge 0} \right)\).

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có: \(\dfrac{{x + y}}{{x - y}} = {\log _2}3 \Leftrightarrow x - y = \left( {x + y} \right){\log _3}2\).

Thay vào biểu thức \(A = {4^{x + y}} + {16.3^{y - x}}\) ta có:

\(\begin{array}{l}A = {4^{x + y}} + {16.3^{y - x}} = {4^{x + y}} + \dfrac{{16}}{{{3^{x - y}}}}\\\,\,\,\,\, = {4^{x + y}} + \dfrac{{16}}{{{3^{\left( {x + y} \right){{\log }_3}2}}}} = {4^{x + y}} + \dfrac{{16}}{{{{\left( {{3^{{{\log }_3}2}}} \right)}^{x + y}}}}\\\,\,\,\, = {4^{x + y}} + \dfrac{{16}}{{{2^{x + y}}}} = {4^{x + y}} + \dfrac{8}{{{2^{x + y}}}} + \dfrac{8}{{{2^{x + y}}}}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương \({4^{x + y}},\,\,\dfrac{8}{{{2^{x + y}}}},\,\,\dfrac{8}{{{2^{x + y}}}}\) ta có:

\({4^{x + y}} + \dfrac{8}{{{2^{x + y}}}} + \dfrac{8}{{{2^{x + y}}}} \ge 3\sqrt[3]{{{4^{x + y}}.\dfrac{8}{{{2^{x + y}}}}.\dfrac{8}{{{2^{x + y}}}}}} = 12\).

\( \Rightarrow A \ge 12 \Rightarrow {A_{\min }} = 12\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {4^{x + y}} = \dfrac{8}{{{2^{x + y}}}} \Leftrightarrow {\left( {{2^{x + y}}} \right)^3} = 8 \Leftrightarrow {2^{x + y}} = 2 \Leftrightarrow x + y = 1\,\,\left( {x,\,\,y > 0} \right)\).

\( \Rightarrow x - y = {\log _3}2\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x - y = {\log _3}2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\2y = 1 - {\log _3}2\end{array} \right.\).

Vậy biểu thức \({4^{x + y}} + {16.3^{y - x}}\) đạt GTNN bằng 12 khi \(x + 3y = x + y + 2y = 1 + 1 - {\log _3}2 = 2 - {\log _3}2.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.