Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình dưới. Tìm

Câu hỏi số 416833:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình dưới. Tìm \(m\) để bất phương trình \(f\left( x \right) \ge \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {0;\,\,1} \right].\)

A. \(m \ge f\left( 0 \right) - \dfrac{1}{2}\)

B. \(m > f\left( 0 \right) - \dfrac{1}{2}\)

C. \(m < f\left( 1 \right) - \dfrac{2}{3}\)

D. \(m \le f\left( 1 \right) - \dfrac{2}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:416833

Phương pháp giải

- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right)\).

- Chứng minh hàm số \(g\left( x \right)\) đơn điệu trên \(\left[ {0;1} \right]\) và suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,f\left( x \right) \ge \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + m\,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\ \Leftrightarrow m \le f\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} = g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}}\) trên \(\left[ {0;1} \right]\) ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;1} \right)\) nên \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\), lại có \( - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\), do đó \(g'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\), suy ra hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {0;1} \right]\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) - \dfrac{2}{3}\).

Vậy \(m \le f\left( 1 \right) - \dfrac{2}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.