Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình dưới. Tìm \(m\) để bất phương trình \(f\left( x \right) \ge \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {0;\,\,1} \right].\)
Câu 416833: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình dưới. Tìm \(m\) để bất phương trình \(f\left( x \right) \ge \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {0;\,\,1} \right].\)
A. \(m \ge f\left( 0 \right) - \dfrac{1}{2}\)
B. \(m > f\left( 0 \right) - \dfrac{1}{2}\)
C. \(m < f\left( 1 \right) - \dfrac{2}{3}\)
D. \(m \le f\left( 1 \right) - \dfrac{2}{3}\)
Quảng cáo
- Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right)\).
- Chứng minh hàm số \(g\left( x \right)\) đơn điệu trên \(\left[ {0;1} \right]\) và suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right)\).
-
Đáp án : D(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,f\left( x \right) \ge \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + m\,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\ \Leftrightarrow m \le f\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} = g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}}\) trên \(\left[ {0;1} \right]\) ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;1} \right)\) nên \(f'\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\), lại có \( - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\), do đó \(g'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\), suy ra hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {0;1} \right]\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) - \dfrac{2}{3}\).
Vậy \(m \le f\left( 1 \right) - \dfrac{2}{3}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
